Решение задач в системе MathCad (стр. 1 из 4)

ЗАДАЧА № 1

1.1 Найти значения коэффициента регрессии (b) и сводного члена уравнения регрессии (а)

1.2 Определить стандартную ошибку предсказания являющейся мерой качества реальной зависимости величинами Yи х с помощью уравнения линейной регрессии.

1.3 Проверить значимость коэффициента регрессии при р=0,05

1.4

Определить выборочный коэффициент Браве-Пирсона. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости р=0,05.

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	8.013	12.933	19.85	20.503	28.228	24.741	33.105	32.04	32.914	36.473

Линейная регрессия

Простая линейная регрессия позволяет найти линейную зависимость между одной входной и одной выходной переменными. Для этого определяется уравнение регрессии – это модель, отражающая зависимость значений Y, зависимой величины Y от значений х, независимой переменной х и генеральной совокупности, описывается уровнением:

где А0 – свободный член уравнения регрессии;

А1 – коэффициент уравнения регрессии

Затем строится соответствующая прямая, называемая линией регрессии. Коэффициенты А0 и А1, называемые также параметрами модели, выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений точек, соответствующих реальным наблюдениям данных, от линии регрессии, была бы минимальной. Подбор коэффициентов производится по методу наименьших квадратов. Иными словами, простая линейная регрессия описывает линейную модель, которая наилучшим образом аппроксимирует зависимость между одной входной и одной выходной переменными.

Цели регрессионного анализа

· Определение наличия и характера (математического уравнения, описывающего зависимость) связи между переменными

· Определение степени детерминированности вариации критеральной переменной предикторами

· Предсказать значение зависимой переменной с помощью независимой

· Определить вклад независимых переменных в вариацию зависимой

1.1 Найдем значения коэффициента регрессии (А) и сводного члена уравнения регрессии (А)

a) Представление исходной информации в виде векторов

b) Определение суммы элементов векторов и произведений векторов:

c) Определение параметров уравнения регрессии

d) Свободный член уравнения регрессии А

e) Коэффициент уравнения регрессии А

f) Графическое изображение линии уравнения регрессии и точек кор-реляции

Определим параметры уравнения регрессии А и Ас помощью встроенных функций системы MathCad

· intercept (X,Y) - коэффициент А линейной регрессии;

· slope (X,Y) - коэффициент А линейной регрессии;

· corr(X,Y) - коэффициент корреляции

1) Определение свободного члена уравнения регрессии Ас помощью встроенной функции intercept(X.Y)

2) Определение коэффициента уравнения регрессии А с помощью встроенной функции slope(X.Y)

3) Определим коэффициент корреляции R с помощью встроенной функции corr(X,Y)

1.2 Определим стандартную ошибку предсказания являющейся мерой качества реальной зависимости величинами Yи х с помощью уравнения линейной регрессии.

Мерой качества приближенного описания реальной зависимости между величинами Yи х с помощью уравнения линейной регрессии является стандартное отклонение значений у от регрессионной прямой, вычисляемое по формуле:

SYXявляется мерой точности предсказания значений случайной величины Y по заданным значениям величины х, поэтому SYX называют также стандартной ошибкой предсказания.

Найдем стандартную ошибку предсказания для нашего примера:

1.3 Проверим значимость коэффициента регрессии при р=0,05

Если в результате проведенной проверки нет оснований сомневаться в адекватности линейной модели, то необходимо проверить гипотезу о том, что в действительности в генеральной совокупности отсутствует линейная регрессия, а то, что полученный коэффициент регрессии отличен от нуля объясняется только случайностью выборки.

Гипотеза Н0 проверяется с помощью стандартного t-критерия Стьюдента. Значение t-критерия определяется по формуле:

где А1 – абсолютная величина коэффициента регрессии,

SYX – стандартная ошибка предсказаний.