Смекни!
smekni.com

Интегралы Дифференциальные уравнения (стр. 1 из 6)

Интегралы

Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Функция

называется первообразной для функции
на промежутке
, если в любой точке этого промежутка
.

Теорема. Если

и
– первообразные для функции
на некотором промежутке
, то найдется такое число
, что будет справедливо равенство

=
+
.

Множество всех первообразных для функции

на промежутке
называется неопределенным интегралом от функции
и обозначается
. Таким образом,

=
+
.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть

,

где

– произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

Метод замены переменной

,

где

– функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Метод интегрирования по частям

,

где

и
– дифференцируемые функции.

Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида

и
,

причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Рациональную функцию

можно разложить в сумму простейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени от выражения стоящего в знаменателе.

Для интегралов вида

делают замену
, а для интегралов
в общем случае используются подстановки Эйлера.

При интегрировании тригонометрических выражений

в общем случае используется замена переменной
, где
.

Талица основных интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Пусть на отрезке

задана функция
. Разобьем отрезок
на
элементарных отрезков точками
. На каждом отрезке
разбиения выберем некоторую точку
и положим
, где
. Сумму вида

(1)

будем называть интегральной суммой для функции

.на
. Для избранного разбиения отрезка
на части обозначим через
максимальную из длин отрезков
, где
.

Пусть предел интегральной суммы при стремлении

к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек
и точек
. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции
на
, обозначается
, а сама функция
называется интегрируемой на отрезке
, то есть