Смекни!
smekni.com

Многомерные и многосвязные системы (стр. 1 из 3)

Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»

Задание

Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию

;

2. Частотную передаточную функцию

;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику

;

5. Переходную характеристику

;

6. ЛАЧХ

;

7. ФЧХ

.

Составить структурную схему системы.

Дано:

;

;

.

Решение:

1. Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

,

.

Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:

; (1)

, (2)

где

;
;

– лапласовы преобразования координат состояния

, выходных
и входных
сигналов.

Преобразуем уравнение (1):


Выносим за скобки:

где

– единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:

Откуда получаем:

.

Подставляем в уравнение (2):

Получаем:

Выражение

называют передаточной функцией системы.

Находим её:


Находим обратную матрицу:

Подставляем:

.

2. Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции

:

,

получаем:

.

Выделим действительную и мнимую части:

,

для этого умножим числитель и знаменатель

на комплексно – сопряжённый знаменатель:

;

;

;

.

3. Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции

на комплексной плоскости при изменении частоты
от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной

и мнимой
частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Расчёт годографа

0 2,8750000 0,0000000 10 -0,0512719 0,4570747 200 -0,00018 0,020008
1 2,7230769 0,9846154 20 -0,0163435 0,2074170 300 -0,000078 0,013336
2 1,9500000 1,9000000 30 -0,0075500 0,1355448 400 -0,000044 0,010001
3 0,8344828 1,9862069 40 -0,0043030 0,1009350 500 -0,000028 0,008001
4 0,2250000 1,5500000 50 -0,0027705 0,0804792 600 -0,000019 0,006667
5 0,0130624 1,1611030 60 -0,0019302 0,0669441 700 -0,000014 0,005715
6 -0,0500000 0,9000000 70 -0,0014209 0,0573176 800 -0,000019 0,005000
7 -0,0645030 0,7269777 80 -0,0010893 0,0501171 900 -0,000009 0,004445
8 -0,0634615 0,6076923 90 -0,0008614 0,0445267 1000 -0,000007 0,004000
9 -0,0578113 0,5216604 100 -0,0006982 0,0400600 2000 -0,000002 0,002000

Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.



Рис. 1. Годограф

4. Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

.

Найдём полюса передаточной функции:

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:


.

Используя табличные значения, находим:

,

.

Таким образом, получаем:

.

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2. Импульсная характеристика

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
-4 11,28 62,69 100,8 -167,1 -1236 -2395 2097 23854 54578 -15944

Строим график импульсной характеристики – рис. 2.

Рис. 2. Импульсная характеристика


5. Переходная характеристика

Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:

.

Найдём полюса передаточной функции:

;
.

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:

.

Приводим к общему знаменателю:

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:

,

,