Таблица производных Дифференцирование сложных функций (стр. 1 из 3)

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

1. Таблица производных

Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1.

.

Найдем производную, когда

.

Зададим приращение аргументу

, что даст . Так как

, а , то

Отсюда

и ,

то есть

. Если , результат тот же.

2.

.

Зададим приращение аргументу

, что даст . Так как , а , то

.

Отсюда

и , то есть .

3.

.

Зададим приращение аргументу

, что даст . Так как , а , то

.

Отсюда

и , то есть .

4.

.

По определению

. Будем дифференцировать как частное:

, то есть .

5.

.

По определению

. Будем дифференцировать как частное:

, то есть .

6.

.

Зададим приращение аргументу

, что даст . Так как , а , то

.

Отсюда

и

,

то есть

. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7.

.

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим

: . Значит, .

8.

.

Зададим приращение аргументу

, что даст . Так как , а , то . Отсюда

и , то есть .

Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9.

.

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим

: . Значит, .

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если

, то .

Теорема. Если для некоторой функции

существует обратная ей , которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную , то есть .

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента:

. Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, .

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10.

.

В данном случае обратной функцией будет

. Для нее . Отсюда

,

то есть

.

11.

.

Так как

, то . .

В данном случае обратной функцией будет

. Для нее

.