ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУВПО «Пермский государственный университет»
С.В. Лутманов
ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
ОПТИМИЗАЦИИ
Оптимальное управление линейными динамическими объектами
Учебное пособие
Рекомендовано УМС по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе направлений и специальностей «Механика»
Пермь 2005
БК 22. 161.8
Л 86
УДК 519.9
Лутманов, С.В.
Л 86 Линейные задачи оптимизации: учеб. пособие [Электронный ресурс] /Перм. ун.-т. – Пермь, 2005.- Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. – 195 с.
ISBN 5-7944-0565-1
В учебном пособии рассматриваются задачи теории оптимального управления линейными динамическими объектами. В частности, подробно исследован случай управления с терминальным критерием качества и случай управления по критерию предельного быстродействия. Изучается возможность сведения задачи теории оптимального управления к функциональной проблеме моментов. Вывод необходимых условий оптимальности управляющих воздействий опирается на математический аппарат выпуклого анализа. Указываются эффективные достаточные условия оптимальности программных управлений. Само построение оптимальных управлений осуществляется либо аналитическим путем, либо с применением систем аналитических вычислений, реализуемых в интерактивном режиме на ЭВМ. Весь излагаемый материал поясняется на примерах, большинство из которых решено с применением пакета MATHEMATICA 4.2 Пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов математических специальностей, изучающих курсы, связанные с вопросами оптимизации.
Ил. 34. Библиогр. 32 назв.
Печатается в соответствии с решением редакционно-издательского совета Пермского государственного университета
Рецензенты: кафедра дифференциальных уравнений Удмуртского государственного университета; профессор кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» Пермского государственного технического университета, д.т.н. В.Ю. Столбов
ISBN 5-7944-0565-1 © Лутманов С.В., 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………………. 5 1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ……….8
1.1. Примеры линейных управляемых динамических объектов …………………8
1.2. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений …………16
1.3. Фундаментальная матрица Коши ……………................................................20
1.4. Допустимые реализации вектора управляющих параметров ………………26
1.5. Формула Коши …………………………...........................................................31
1.6. Критерии качества управления динамическими объектами………………..33
1.7. Программные стратегии ……………………………………………………...36
1.8. Постановка и существование решения задачи теории оптимального управ-
ления ……………………………………………………………………………….39
1.9. Область достижимости линейного управляемого динамического объекта 45
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА……………………………………..49
2.1. Случай закрепленного левого конца и свободного правого конца траекто-
рии ………………………………………………………………………………….49
2.2. Поведение функции Л.С. Понтрягина вдоль оптимальной пары…………..53
2.3. Частные случаи геометрических ограничений на вектор управляющих па-
раметров……………………………………………………………………………56
2.4. Минимизация расстояния до целевого множества…………………………67
2.5. Случай подвижного левого и свободного правого конца траектории……85
2.6. Минимизация расстояния до целевого множества в случае подвижного ле-
вого конца траектории…………………………………………………………….96
3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ…….107
3.1. Постановка задачи линейного предельного быстродействия и существова-
ние ее решения.……………………………………………………………………107
3.2. Необходимые условия оптимальности программной стратегии ………….108
4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ………………….117
4.1. Сведение задачи теории оптимального управления к функциональной про-
блеме моментов…………………………………………………………………..117
4.2. Управляемость линейной динамической системы…………………………125
4.3. Управление по критерию «минимум энергии»…………………………….128
4.4. Управление по критерию «минимум силы»……………………………….134
ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………142 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………...192
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие написано на основе спецкурса «Линейные задачи оптимизации», который автор читает для студентов и магистрантов (специальность «Механика») механико-математического факультета Пермского государственного университета. Оно представляет собой конспект лекций той части курса, которая посвящена задачам оптимального управления линейными динамическими системами. Линейные динамические системы с выпуклыми геометрическими ограничениями на управляющие параметры являются удобными объектами исследования в теории оптимального управления. Вывод необходимых условий оптимальности управляющих воздействий для таких систем опирается на математический аппарат выпуклого анализа и требует существенно меньших усилий, чем для нелинейных систем. В ряде случаев удается сформулировать эффективные достаточные условия оптимальности. Само построение оптимальных управлений осуществляется либо аналитическим путем, либо с применением систем аналитических вычислений, реализуемых в интерактивном режиме на ЭВМ.
Пособие состоит из четырех разделов и приложения. В первом разделе изучаются основные свойства систем линейных дифференциальных уравнений, вводится понятие фундаментальной матрицы Коши системы однородных линейных дифференциальных уравнений и доказывается формула Коши. Здесь же приводится постановка задачи теории оптимального управления в классе программных стратегий, оговаривается класс допустимых стратегий и доказывается теорема существования решения задачи теории оптимального управления.
Во втором разделе для задач управления с терминальным критерием качества и фиксированным временем выводятся необходимые условия оптимальности программного управления в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина. В частности, когда минимизируемый функционал имеет смысл расстояния от целевого множества до фазового вектора объекта в финальный момент времени, эти условия записываются в форме прицеливания на опорный вектор к области достижимости динамического объекта. Для этого случая формулируются и доказываются эффективные достаточные условия оптимальности. Рассмотрены ситуации, когда левый конец траектории закреплен и когда он является подвижным. В последнем случае принимается, что множество начальных положений объекта описывается системой дифференцируемых неравенств.
Третий раздел посвящен задачам линейного быстродействия. Оптимальное время перехода определяется здесь как разность между первым моментом времени, для которого пересечение области достижимости управляемого объекта и целевого множества не является пустым, и начальным моментом времени. Оптимальная программная стратегия строится из условия прицеливания на соответствующий опорный вектор к области достижимости объекта.
В четвертом разделе изучается возможность сведения задачи теории оптимального управления к функциональной проблеме моментов. Приводятся необходимые и достаточные условия разрешимости проблемы моментов. На их основе доказывается критерий полной управляемости динамическим объектом и реализуется конструктивный алгоритм решения задачи теории оптимального управления по критерию «минимум энергии» и «минимум силы».
В каждом разделе пособия дается подробный алгоритм решения соответствующего класса задач теории оптимального управления. Реализация алгоритма поясняется на конкретных примерах. Большинство из них решается с применением пакета MATHEMATICA 4.2. Заголовки примеров, решение которых требует обращения к компьютеру, помечены звездочкой. Для них в приложении приводятся тексты программ, обеспечивающие решение этих примеров.
По тематике книги существует обширная библиография. Приведенный в конце книги библиографический список содержит лишь те источники, которые непосредственно использовались при написании данного учебного пособия. Пособие разбито на разделы, внутри которых принята самостоятельная нумерация задач, лемм, рисунков, примеров и теорем. В свою очередь, раздел разбит на пункты, в которых ведется независимая нумерация формул. Ссылки на материалы (за исключением формул), расположенные в пределах данного раздела, нумеруются одним числом, вне данного раздела – двумя числами. Ссылки на формулы нумеруются одним числом только в пределах данного пункта. Вне данного пункта, но в пределах данного раздела, они нумеруются двумя числами, вне данного раздела – тремя числами.
1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
1.1. Примеры линейных управляемых динамических объектов. Рас-
смотрим управляемые объекты, состояние которых в каждый момент времени t ∈ R1 характеризуется набором величин x1,",xn . Эти величины называются фазовыми координатами объекта. Управление объектом осуществляется посредством воздействий u1,",ur , которые будем называть управляющими параметрами объекта. Принимаем, что изменение фазовых координат во времени описывается системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вида