Современные методы теории функции Зильберта (стр. 1 из 2)

Министерство Образования и Науки Украины

Харьковский национальный университет

А.А. Тензор, В.В. Невязкин

Современные методы теории функции Зильберта

ТОМ 3

Харьков 2008

DSFGIH904

ДЖ7ПИВО61

Издание третье, дополненное и недоделанное

Р е ц е н з е н т ы :

Бюншман, Треугольник, Хвилиппов, Петросян,

Штрассерман, Штольц, Коклюшкин

© 2008 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина	4
Лирическое отступление	7
Принцип Максима Понтрягина	8
Обобщение принципа Максима Понтрягина	9
3гономе3ческие функции	10
Определение функции Зильберта	11
Замечательно	12

Задачки 13

Вопросы к экзамену 13

Список использованной макулатуры 15

Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина

Интегруй – не интегруй, Всё равно получишь …!

Народная мудрость

Определение. C a b c[ , , '] – пространство функций, непрерывных в треугольнике ABC' .

Определение. Говорят, что, а слышится “што”!

Определение. Если ∀ε∃δ, то говорят, что выполнено условие Коши-Зильберта.

Определение. Говорят, что на C a b c[ , , '] задан полином Зажигалкина zh(x), если ∀x x₁, ₂ ∈C a b c[ , , '] ∃zh x( ) ∈C³²(C a b c[ , , ']) :

1. ∀ε∃δ(выполнено условие Коши-Зильберта);

2. ∀ξ∃η;

3.

для ∀ разбиения T многоугольника ATBCEB на треугольники, измеримые по Зильберту, sup x x₁ − <₂ ξ η≥[ ] 1+ .

T

Тогда полином Зажигалкина имеет вид.

Упражнение. Доказать, что пространство C a b c[ , , '] является банаховым пространством.

Определение. На пространстве C a b c*[ , , '] (C со снежинкой) два функционала называются квазиэквивалентными, если при действии на них полиномом Зажигалкина получается одно и то же почти всюду на C a b c[ , , '] отрицательное число. Это число называется константой Мопиталя.

Замечание. На линейные ограниченные функционалы можно подействовать ещё и вектором.

Теорема.

Полином Зажигалкина всегда и только всегда является квазиполиномом с выколотой границей, если все его коэффициенты кроме, быть может, j-ого представляют собой константы Мопиталя.

Единственное свойство полиномов Зажигалкина:

Определения полинома Зажигалкина по Коши и по Гейне квазиэквивалентны.

Теоремка (Зильберта-Зажигалкина)

∀ n-угольник конформным преобразованием можно перевести в правильный m-угольник так, что граница перейдёт во внутренность, а внутренность – в границу.

Утверждение.

Полином Зажигалкина n-ой степени сходится к n-угольнику “отнюдь не сразу”.

Леммка.

Полином Зажигалкина является

-периодическим.

Доказательство. Полином Зажигалкина определён на пространстве C a b c[ , , '] и непрерывен в треугольнике ⇒ он 3πпериодичен.

Далее методом мат. дедукции доказывается

-периодичность, и так далее до .

Теорема (признак слаборавномерной полунепрерывности сверху) Полином P_n(x) слаборавномерно полунепрерывен сверху, если он представим в виде криволинейной комбинации квазиполиномов Зажигалкина.

(Доказывается методом усилий)

Лемма.

Подграфик полинома Зажигалкина монотонно выпуклый чутьчуть влево.

Доказательство. Введём начало координат – точку 0, и конец координат – точку ∞ . Переименуем вершины треугольника так,

координат

Картина Шмалевича “круг и треугольник”

чтобы полином Зажигалкина чувствовал себя в нём конформно. Далее методом логических догадок приходим к выводу, что теорема верна.

Очень важное замечание:

Зажигалкин ЖЖОТ!

Теорема.

В силу теоремы Зильберта-Зажигалкина (там что-то про n- и mугольники -) теорию полиномов, непрерывных в треугольнике можно обобщить до m-угольников класса гладкости, равного константе Мопиталя.

Лирическое отступление

Из чего же, из чего же, из чего же Сделана формула Грина?

Из производных, из интегралов, Из градиентов и функционалов Сделана формула Грина!

***

Принцип Максима Понтрягина

Потрясающая теорема.

Рассмотрим функционал «ШЫ» (от франц. shit)

b b

< ШЫ, zh >= tg_∫∫(lhτ+ c dc') ' ,

a a

где lh x( ) – гиперболический логарифм x.

Этот функционал достигает апогея (неистово стремится к max) тогда и только тогда, когда max стремится к функционалу «ШЫ».

Определение.

В таком случае говорят, что ШЫ=XO(max) («хо большое»).

Определение.

Условием ГорЭлектроТрансверсальности называется перпендикулярность функционала ШЫ железнодорожным путям, т. е. равенство нулю скалярного произведения. Напомним, что в пространстве C a b c[ , , '] скалярное произведение – это произведение интеграла и матрицы

b₁ ⎛a2 −λ b2 c2' ⎞

⎜ ⎟

(ABC ABC1 1 1', 2 2 2')=−(∫dc1',⎜ b2 c2'−λ a2 ⎟)

a1 ⎜⎝ c2' a2 b2 −λ⎟⎠

Теорема (без доказательства).

В случае, когда матрица диагонализируется, скалярное произведение равно π.

Теорема (без формулировки).

Доказательство. В силу формулировки теоремы, из (1), (2) и (3) следует (4). Значит, в силу непрерывности функции Зильберта З(х) и по условию ГорЭлектроТрансверсальности, выполняется и требуемое условие (5). Теорема доказана.

Следствие.

Если в предыдущей теореме вместо функции Зильберта З(х) везде подставить полином Зажигалкина zh, теорема останется верной при ∀t и доказывается точно так же.

Упражнение.

r r r

Доказать, что тройка векторов {ШЫ З х, ( ), zh} образует базис в пространстве C a b c[ , , '] (использовать метод ортогонализации

Грамма-Шмидта запрещается).

Обобщение принципа Максима Понтрягина

Рассмотрим замыкание пространства C a b c[ , , '], а именно

пространство C a b c[ , , '] непрерывных в криволинейном треугольнике ABC' функций (примеры криволинейных треугольников были рассмотрены в томе 1).

r r r

На этом пространстве векторы {ШЫ З х, ( ), zh} мона интегрировать, косинусировать и брать от них невязку с двойным пересчётом.

Вопрос.

Почему нельзя тангенцировать?

Определение.

Зильбертов кирпич – это кирпич в пространстве C a b c[ , , '] со сторонами a, b,

.

Вопрос.

Можно ли из зильбертовых кирпичей построить дачу? 3гономе3ческие функции

sinn x

Определение.

Функция синнус на пространстве Зильберта определяется следующим образом: sinn(x)=sin(n⋅ x )

Эта функция названа так в честь эстонского математика Отто Синнуса.

Функция синнус похожа на обычный синус, только она гораздо медленнее стремится к

, потому что ей некуда спешить!

narccos x

Определение.

Функция нарккосинус выражается через арккосинус так:

narccos(x)=n⋅arcos(x)

gensec x

Определение.

Функция генсеконс:

⎡g = 9.8⎤

gensec(x)= g e n⋅ ⋅ ⋅sec(x)= _{⎢ ⎥} = 26.46⋅n⋅sec(x).

⎣e = 2,7⎦

Основное 3гономе3ческое тождество

Теорема.

Функции нарккосинус и генсеконс связаны тождеством:

narccos²(x)+ gensec²(x)=1991.