ГлаваI Математическоемоделированиесистемныхэлементов
Выдающийсяитальянскийфизик и астроном,один из основателейточного естес-
твознания,Галилео Галилей(1564 - 1642гг.) говорил,что "Книгаприроды написанана языке математики".Почти черездвести летродоначальникнемецкойклассическойфи-
лософииИммануил Кант(1742 - 1804гг.) утверждал,что "Во всякойнауке столькоис-
тины,сколько в нейматематики".Наконец, ещёчерез почтисто пятьдесятлет, практи-
ческиуже в наше время,немецкий математики логик ДавидГильберт (1862 -1943гг.) констатировал:"Математика- основа всеготочногоестествознания".
Приведенныевысказываниявеликих ученых,без дополнительныхкомментариев,дают полноепредставлениео роли и значенииматематикикак в научно-теоретической,так и предметно-практическойдеятельностиспециалистов.
1.1.Три этапаматематизациизнаний
Современнаяметодологиянауки выделяеттри этапаматематизациизнаний: ма-
тематическаяобработкаэмпирических(экспериментальных)данных, моделированиеи относительнополные математическиетеории.
Первыйэтап - этоматематическая,чаще всегоименно количественнаяобработкаэмпирических(экспериментальных)данных. Этоэтап выявленияи выделениячисто фе-
номенологическихфункциональныхвзаимосвязей(корреляций)между входнымисигна-
лами(входами µ§)и выходнымиреакциями(откликам赧)на уровнецелостногообъекта (явления,процесса), которыенаблюдают вэкспериментахс объектами-оригиналам赧. Данный этапматематизацииимеет местово всякой наукеи может бытьопределён какэтап первичнойобработки еёэмпирическогоматериала.
Второйэтап математизациизнаний определимкак модельный.На этом этапене-которыеобъекты выделяются(рассматриваются)в качествеосновных, базовых(фун-даментальных),а свойства(атрибуты),характеристикии параметрыдругих объектовисследованияобъясняютсяи выводятсяисходя иззначений,определяемыхпервыми (назовемих оригиналами).Второй этапматематизациихарактеризуетсяломкой старыхтеоретическихконцепций,многочисленнымипопыткамиввести новые,более глубокиеи фундаментальные.Таким образом,на "модельном"этапе математизации,т.е. этапематематическогомоделирования,осуществляетсяпопытка теоретическоговоспроизве-дения,"теоретическойреконструкции"некоторогоинтересующегоисследователяобъек-та-оригиналав форме другогообъекта -математическоймодели.
Третийэтап - этоэтап относительнополной математическойтеории данногоуровня организацииматерии в даннойили рассматриваемойпредметнойобласти. Тре-
тийэтап предполагаетсуществованиелогическиполной системыпонятий иаксиомати-
ки.Математическаятеория даётметодологиюи язык, пригодныедля описанияявлений, процессови систем различногоназначенияи природы. Онадаёт возможностьпреодоле-
ватьузость мышления,порождаемуюспециализацией.
1.2. Математическоемоделированиеи модель
Математическоемоделирование- это теоретико-экспериментальныйметод позна-
вательно-созидательнойдеятельности,это методисследованияи объясненияявлений, процессови систем(объектов-оригиналов)на основесоздания новыхобъектов - матема-
тическихмоделей.
Подматематическоймоделью принятопониматьсовокупностьсоотношений(уравнений,неравенств,логическихусловий, операторови т.п.), определяющиххаракте-
ристикисостоянийобъекта моделирования,а через нихи выходныезначения -реакции
µ§,в зависимостиот параметровобъекта-оригинал൧, входных воздей-
стви鵧,начальных играничныхусловий, а такжевремени.
Математическаямодель, какправило, учитываетлишь те свойства(атрибуты)объекта-оригинал൧,которые отражают,определяют ипредставляютинтерес с точкизрения целейи задач конкретногоисследования.Следовательно,в зависимостиот целей моделирования,при рассмотренииодного и тогоже объекта-оригинал൧с различныхточек зренияи в различныхаспектах,последнийможет иметьразличныематематичес-
киеописания и,как следствие,быть представленразличнымиматематическимимоделя-
ми.
Принимаяво вниманиеизложенноевыше, дадимнаиболее общее,но в то же времястрогое конструктивноеопределениематематическоймодели, сформулированноеП.Дж.Коэном.
Определение2. Математическаямодель - этоформальнаясистема, представляю-
щая собойконечное собраниесимволов исовершеннострогих правилоперированияэтими символамив совокупностис интерпретациейсвойств определенногообъекта некоторымиотношениями,символамиили константами.
Какследует изприведенногоопределения,конечное собраниесимволов (алфавит)и совершеннострогих правилоперированияэтими символами("грамматика"и "синтак-
сис"математическихвыражений)приводят кформированиюабстрактныхматематичес-
кихобъектов (АМО).Только интерпретацияделает этотабстрактныйобъект математи-
ческоймоделью.
Такимобразом, исходяиз принципиальноважного значенияинтерпретациив тех-нологииматематическогомоделирования,рассмотримее более подробно.
1.3.Интерпретациив математическоммоделировании
Интерпретация(от латинского"interpretatio" - разъяснение,толкование,истолко-
вание)определяетсякак совокупностьзначений(смыслов), придаваемыхкаким-либооб-
разомэлементамнекоторойсистемы (теории),например, формулами отдельнымсимво-
лам.В математическомаспекте интерпретация- это экстраполяцияисходных положе-
нийкакой-либоформальнойсистемы накакую-либосодержательнуюсистему, исход-
ныеположениякоторой определяютсянезависимоот формальнойсистемы. Следова-
тельно,можно утверждать,что интерпретация- это установлениесоответствиямежду некоторойформальнойи содержательнойсистемами.В тех случаях,когда формальнаясистема оказываетсяприменимой(интерпретируемой)к содержательнойсистеме, т.е.ус-
тановленочто междуэлементамиформальнойсистемы иэлементамисодержательнойсистемы существуетвзаимно однозначноесоответствие,все исходныеположения фор-
мальнойсистемы получаютподтверждениев содержательнойсистеме. Интерпретациясчитаетсяполной, есликаждому элементуформальнойсистемы соответствуетнекото-
рыйэлемент (интерпретант)содержательнойсистемы. Еслиуказанноеусловие наруша-
ется,имеет месточастичнаяинтерпретация.
Приматематическоммоделированиив результатеинтерпретациизадаются значе-
нияэлементовматематическихвыражений(символов,операций, формул)и целостныхконструкций.
Основываясьна приведенныхобщих положениях,определимсодержаниеинтер-
претацииприменительнок задаче математическогомоделирования.
Определение3. Интерпретацияв математическоммоделировании- это информа-
ционный процесспреобразованияабстрактногоматематическогообъекта (АМО)в кон-
кретную математическуюмодель (ММ)конкретногообъекта наоснове отображения
непустогоинформационногомножестваданных и знаний,определяемогоАМО и называе-
мого областьюинтерпретации,в кообласть- информационноемножестводанных и зна-
ний, определяемоепредметнойобластью иобъектоммоделированияи называемоеоб-
ластью значенийинтерпретации.
Таким образом,интерпретациюследует рассматриватькак один изосновопола-
гающихмеханизмов(инструментов)технологииматематического(научного)модели-
рования.
Именноинтерпретация,придавая смысли значенияэлементам(компонентам)ма-
тематическоговыражения,делает последнеематематическоймоделью реальногообъек-
та.
1.4.Видыи уровни интерпретаций
Созданиематематическоймодели системногоэлемента -многоэтапныйпроцесс. Основнымфактором,определяющимэтапы переходаот АМО к ММ,является интер-
претация.Количествоэтапов и ихсодержаниезависит отначального(исходного)ин-
формационногосодержанияинтерпретируемогоматематическогообъекта - математи-
ческогоописания итребуемогоконечногоинформационногосодержанияматематичес-
когообъекта - модели.Полный спектрэтапов интерпретации,отражающийпереход от АМО- описания кконкретнойММ, включаетчетыре видаинтерпретаций:синтаксичес-
кую(структурную),семантическую(смысловую),качественную(численную)и количес-
твенную.В общем случае,каждый изперечисленныхвидов интерпретацииможет иметьмногоуровневуюреализацию.Рассмотримболее подробноперечисленныевиды интер-
претаций.
Cинтаксическаяинтерпретация
Синтаксическуюинтерпретациюбудем рассматриватькак отображениеморфоло-
гической(структурной)организацииисходногоАМО в морфологическуюорганизациюструктурузаданного(или требуемого)АМО. Синтаксическаяинтерпретацияможет осуществлятьсякак в рамкаходного математическогоязыка, так иразличныхматема-
тическихязыков.
ПрисинтаксическойинтерпретацииАМО возможнынескольковариантовзадач реализации.
Задача1. Пусть исходныйАМО не структурирован,например, заданкортежем элементов.Требуетсяпосредствомсинтаксическойинтерпретациисформироватьмор-
фологическуюструктуруматематическоговыражения
µ§ (1)
Задача2. Пусть АМОимеет некоторуюисходнуюморфологическуюструктуру,
котораяпо тем или инымпричинам неудовлетворяеттребованиямисследователя(эксперта).Требуетсяпосредствомсинтаксическойинтерпретациипреобразоватьв со-
ответствиис целями и задачамимоделированияисходнуюструктуру Stµ§вадекватнуютребуемуюStµ§,т.е.
µ§ (2)
Задача3. Пусть АМОимеет некоторуюисходнуюморфологическуюструктуру Stµ§,удовлетворяющуюобщим принципами требованиямисследователяс точки зренияеё синтаксическойорганизации.ТребуетсяпосредствомсинтаксическойинтерпретацииконкретизироватьАМО со структуройStµ§доуровня требований,определяемыхцелями и задачамимоделирования
µ§ (3)
Такимобразом, синтаксическаяинтерпретацияматематическихобъектов даётвоз-
можностьформироватьморфологическиеструктуры АМО,осуществлятьотображение(транслировать)морфологическиеструктуры АМОс одного математическогоязыка на другой,конкретизироватьили абстрагироватьморфологическиеструктурныепредстав-
ленияАМО в рамкаходного математическогоязыка.
Семантическаяинтерпретация
Семантическаяинтерпретацияпредполагаетзадание смысламатематическихвы-
ражений,формул, конструкций,а также отдельныхсимволов изнаков в терминахсфе-
ры,предметнойобласти иобъекта моделирования.Семантическаяинтерпретациядаёт возможностьсформироватьпо смысловымпризнакамоднородныегруппы, виды,клас-
сы итипы объектовмоделирования.В зависимостиот уровнейобобщения иабстраги-
рованияили, наоборот,дифференциацииили конкретизации,семантическаяинтерпре-
тацияпредставляетсякак многоуровневый,многоэтапныйпроцесс.
Такимобразом, семантическаяинтерпретация,задавая смыслабстрактномума-
тематическомуобъекту, "переводит"последний вкатегориюматематическоймодели собъекта-оригинала,в терминахкоторого иосуществляетсятакая интерпретация.
Качественнаяинтерпретация
Интерпретацияна качественномуровне предполагаетсуществованиекачествен-
ныхпараметрови характеристикобъекта-оригинала,в терминах(значениях)которых ипроизводитсяинтерпретация.При качественнойинтерпретациимогут использоватьсяграфическиеи числовыепредставления,посредствомкоторых, например,интерпретиру-
етсярежим функционированияобъекта моделирования.
Количественнаяинтерпретация
Количественнаяинтерпретацияосуществляетсяза счет включенияв рассмотрениеколичественныхцелочисленныхи рациональныхвеличин, определяющихзначение па-
раметров,характеристик,показателей.
Врезультатеколичественнойинтерпретациипоявляетсявозможностьиз класса,группы илисовокупностианалогичныхматематическихобъектов выделитьодин един-
ственный,являющийсяконкретнойматематическоймоделью конкретногообъекта-ори-
гинала.
Такимобразом, врезультатечетырех видовинтерпретаций- синтаксической,се-
мантической,качественнойи количественнойпроисходитпоэтапнаятрансформация
АМО,например,концептуальнойметамодели(КММ) функциональнойсистемы µ§, в конкретнуюматематическуюмодель (ММ)конкретногообъекта моделирования.
ГлаваII Концептуальноеметамоделированиефункционированиясистемного
элемента
2.1.Системныйэлемент какобъект моделирования
Понятие "элемент"является однимиз фундаментальныхв общей теориисистем (ОТС)- системологии.Оно происходитот латинского"Elementarius" и имеетсмысл: начальный,простой, простейший,конечный,неделимый,лежащий в основечего-либо.Впервыепонятие "элемент"встречается,по-видимому,у Аристотеляв его работе"Метафизика".
СогласноОТС, любая система(обозначимее S),независимоот ее природыи наз-
начения,а также отсознаниясубъекта(эксперта),существуеттолько в структуриро-ваннойформе. Структурированностьвыступает вкачествевсеобщегосвойства мате-
рии- ее атрибута.Именно свойствоструктурированности,а следовательно,и члени-
мостицелостнойсистемы Sна части µ§приводит кобразованиюкомпо-
нент-подсисте쵧и элементоⵧ
В целенаправленныхдействующихсистемах Sлюбой компонентµ§целого характеризуетсякак поведением,так и строением.В тех случаях,когда примоделиро-ваниирассматривается(исследуется)и поведение(j)и строение(m),компонент µ§ определяетсякак подсистемасистемы S.Если же рассмотрениюподвергаетсятолько поведениекомпонент൧,то его определяюткак элементµ§где Е - комплектэлементов,выступающийносителемсистемы S. Таким образом,сущностькомпонента"подсистема"дуальна. Длявышерасположенныхкомпонент µ§подсистемавыступаеткак элемент,а для нижерасположенных- как система.
В системологиипонятие "элемент"трактуетсядвояко - какабсолютнаяи как от-
носительнаякатегории.Абсолютноепонятие элементаопределяетсяфизико-химичес-
кимподходом,относительное- системологическим.
Понятиеабсолютногоэлемента µ§связано сопределениемначальногомини-мальногокомпонентасистемы S,т.е. такой еечасти, котораясохраняетосновные
свойстваисходнойцелостнойсистемы S.При таком подходе,назовем егомолекуляр-
ным,понятие "элемент"включает всебя и фиксируетсущественныесвойства целост-
нойсистемы S.
Понятиеотносительногоэлемента µ§(µ§)связано с уровнемпознания
исходнойцелостнойсистемы S.При этом элементµ§рассматриваетсякак системная
категория,зависящаяот "взгляда"и "отношения"к нему субъекта(исследователя,эксперта). Такойподход к определениюэлемента µ§назовем системологическим.При системологическомподходе компонентµ§является элементо쵧(µ§)толь-
ков рамках данногорассмотренияна выделенномуровне анализа.Для системологи-
ческогоподхода понятиеэлемента, какотносительнойкатегории,может бытьсформу-
лированоследующимобразом.
Определение1. Элемент- это относительносамостоятельнаячасть системы,
рассматриваемаяна данном уровнеанализа какединое целоес интегральнымповедени-
ем, направленнымна реализациюприсущей этомуцелому функции.
С учетомизложенноговыше, рассмотримэлемент с точкизрения целостности.
2.2.Целенаправленностьсистемногоэлемента
Фундаментальнымсвойствомсистемногоэлемента µ§является егоцеленаправленностьи, как следствие,способностьфункционировать.Под функциони-
рованиемпринято принятопониматьреализациюприсущей элементуµ§функции, т.е.
возможностьполучать некоторыерезультатыдеятельностисистемногоэлемента µ§,определяемыеего целевымназначением.
Целенаправленнодействующийсистемныйэлемент µ§должен обладать,по край-
неймере, тремяосновнымиатрибутами:
- элементµ§выполняет однуили несколькофункций,
- элементµ§обладаетопределеннойлогикой поведения,
- элементµ§используетсяв одном илинесколькихконтекстах.
Функция указываетна то, "чтоделает элементµ§".
Логика описываетвнутреннийалгоритм поведенияэлемента µ§,т.е. определяет"как элементµ§реализуетсвою функцию".
Контекст определяетконкретныеусловия применения( приложения) элемента µ§в тех или иныхусловиях, втой или инойсреде.
Такимобразом, принимаяво вниманиеизложенное,можно определитьсодержа-
тельночто такое модельфункционированиясистемногоэлемента µ§.
Определение4. Модельфункционированияэлемента ( МФЭ) -это отражениена неко-торомязыке совокупностидействий,необходимыхдля достиженияцелей ( целевойфункции ), т.е.результат൧функционированияэлемента µ§. МФЭ не учитываетстроение, атакже способыи средствареализацииэлемента. Такаямодель устанавли-ваетфакт "Что делаетэлемент µ§для достижениярезультат൧",определяемогоего целевымназначением.
2.3.Целостностьсистемногоэлемента
Целостностьодно из основныхсвойств (атрибутов)системногоэлемента. Онаот-
ражаетзавершеннуюполноту егодискретногостроения. Правильносформированный
системныйэлемент µ§(µ§)характеризуетсяявно выраженнойобособленностью(границами)и определеннойстепеньюнезависимостиот окружающейего среды.Относительнаянезависимостьсистемногоэлементаопределяется(характеризуется)совокупностьюфакторов, которыеназовем факторамицелостности.
Факторыцелостности Полнаясовокупностьфакторов целостностиэлемента µ§определяетсядвумя группами,которые назовемвнешние факторыцелостностии внут-ренние.
Внешниефакторы 1. Низкий уровеньсвязности(число взаимосвязей)элемента µ§с ок-ружающейего средой µ§, т.е. минимальнаявнешняя связностьэлемента µ§.Обозначивполную совокупностьвнешних связейэлемента µ§через µ§,рассматриваемыйфактор запишемкак условиеминимизации: µ§®Min.
2. Низкий уровеньвзаимодействияµ§элемента µ§с окружающейего средой
µ§,т.е.слабое взаимодействие,определяемоеминимальнойсовокупнойинтенсивностьюобмена сигналами µ§®Min.
Внутренниефакторы 1.Высокая степеньсвязностидруг с другомчастей, изкоторых состоитэлемент µ§,т.е. суммарнаявнутренняясвязность µ§максимальна µ§®Max.
2. Высокаяинтенсивностьµ§взаимодействиячастей, изкоторых состоитэлемент µ§.Иными словами,имеет местосильное внутреннеевзаимодействие µ§®Max.
Оценкацелостностиэлемента Перечисленныевыше факторымогут бытьиспользова-
ныдля оценкицелостностисистемногоэлемента µ§.Такая оценка,в определенноймере, характеризуетстепень "прочности"элемента поотношениюк окружающейего
сред嵧.
Введем понятие"прочность"как показательвнутреннейцелостностиэлемента и
определимего через суммарнуюкомпозициюпоказателейвзаимосвязе鵧и взаимо-
действи鵧всех частей,из которыхсостоит элемент µ§.Прочностьэлемента при
этомопределяетсявыражением
µ§ (1)
Для обобщеннойоценки внешнихвзаимосвязе鵧и взаимодействи鵧элемента
µ§с окружающейего средой µ§введем показатель"сцепленности"и определимего как композициюпоказателейµ§и µ§,т.е.
µ§ (2)
Полученныепоказателипрочности (1)и сцепленности(2) используемдля оценки
целостност赧 элемента µ§.Такая оценкаопределяетсяотношениемвида
µ§ (3)
т.е.как отношениепрочности µ§ элемента µ§ к его сцепленност赧со средой µ§.
С учетом (1) и(2) выражение(3) принимаетвид
µ§ (4)
Уровницелостностиэлемента Анализвыражений (3)и (4) дает возможностьранжи-роватьэлементы µ§поуровням целостностии качественноопределить ихустойчи-востьпо отношениюк окружающейсреде.
Случай1. Если значениепоказателяпрочности µ§элемента µ§ превосходитзна-
чениепоказателясцепленност赧элемента µ§ с его средо鵧,т.е. µ§> µ§,а как
следствиеи µ§> 1, то элементµ§по своим целостнымсвойствамустойчив. Врассмат-
риваемомслучае имеетместо супераддитивнаяцелостность.
Случай2. Пустьзначенияпоказателейпрочности µ§и сцепленност赧равны,
т.е.µ§= µ§.В этом случаепоказательцелостност赧= 1. Тогда элементµ§по сво-
имцелостнымсвойствамнаходитсяна грани устойчивости.Такой уровеньцелостностиэлемента µ§определим какаддитивнаяцелостность.
Случай3. Наконец,пусть значенияпоказателяпрочности µ§элемента µ§ниже значенийпоказателясцепленност赧элемента µ§ с его средо鵧.В рассматривае-
момслучае условиязаписываютсяв виде µ§§и µ§§по сво-
имцелостнымсвойствамне устойчивк интегральномувовлечению(растворению)в окружающейсреде µ§.Рассматриваемыйуровень целостностиэлемента µ§определим
каксубаддитивнаяцелостность.
Таким образом,введенныйпоказательµ§может использоватьсякак критерий
оценкикачествацелостныхсвойств элемент൧,а также длясравненияраэличныхэлементов µ§(n= 1, 2, ... , N) по критериюцелостности.
2.4.Метод концептуальногометамоделирования
Концептуальноеметамоделирование( КММ ) основанона использованиииндук-
тивно-дедуктивногоподхода. СозданиеКММ осуществляетсяна основеиндуктивногоподхода ( отконкретногок абстрактному,от частногок общему ) посредствомобобще-
ния,концептуализациии формализации.
ИспользованиеКММ предполагаетпереходы отобщего к частному,от абстракт-
ногок конкретномуна основеинтерпретаций.
КММфункционированиясистемногоэлемента µ§предполагаетописание динами-
киповедения назаданном уровнеабстракциис точки зренияего взаимодействияс окру-
жающейсредой, т.е. внешнегоповедения.Математическоеописание такогоэлемента должноотражатьпоследовательностьпричинно-следственныхсвязей типа"вход - вы-
ход"с заданнойвременнойнаправленностьюиз прошлогов будущее. КММфункциони-
рованиясистемногоэлемента µ§должна учитыватьбазовые концепциии существенныефакторы, к числукоторых, в первуюочередь, следуетотнести следующие.
1. Элементµ§,как компонентсистемы µ§,связан ивзаимодействуетс другимикомпонентамиэтой системы.
2. Компонентыµ§системы µ§воздействуютна элементµ§посредст-
вомвходных сигналов,в общем случае,обозначаемыхвекторныммножество쵧.
3. Элементµ§может выдаватьв окружающуюего среду µ§выходные сигна-лы,обозначаемыевекторныммножество쵧.
4.Функционированиесистемногоэлемента µ§( µ§) происходитво време-
ни сзаданнойвременнойнаправленностьюот прошлогок будущему: µ§где µ§
5. Процессфункционированияэлемента µ§представляетсяв форме отображенияµ§входного векторногомножества µ§в выходное - µ§,т.е. по схеме"вход - выход"и представляетсязаписью вида
µ§.
6. Структураи свойстваотображенияµ§при моделированиина основе методапрямых аналогийопределяетсявнутреннимисвойствамиэлемента µ§,во всех остальныхслучаях - инвариантныи связаныфеноменологически.
7.Совокупностьсущественныхвнутреннихсвойств элемент൧,представ-ляетсяв модели "срезом"их значенийдля фиксированногомомента времен赧,при
условиификсированного"среза" значенийвходных воздействи鵧 и опреде-
ляетсякак внутреннеесостояние µ§элемент൧.
8. Внутренниесвойстваэлемента µ§характеризуютсявектором параметров
µ§,которые назовемфункциональными( j- параметры ).
Концептуальноематематическоеописаниесистемногоэлемент൧( µ§)
с учетомизложенныхвыше положений,представимкортежем
µ§. ( 1 )
Такоеописаниеопределим какконцептуальнуюметамодель- КММ функционированиясистемногоэлемента µ§.
2.5.Стратифицированныйанализ и описаниеКММ системногоэлемента
Концептуальныеметамоделиэлемента,основанныена записи ( 1), могут образо-
выватьнекоторыеиерархии. Уровнитаких иерархийопределяютсястепенью ( этапами) конкретизациисвойств элемента.РанжированиеКММ ( 1 ) по шкале"Абстрактное- Конкретное"на основе методастратификации,следовательно,приводит киерархичес-
койдедуктивнойсистеме концептуальныхметамоделей.Такая системаможет бытьис-
пользованадля математическогомоделированияконкретныхэлементовкак некоторыйисходный базовыйинвариант,интерпретируемыйв конкретную математическуюмо-
дель.
Взависимостиот степениконкретизации,сформируемдедуктивнуюсистему, вклю-чающуюследующиеуровни КММэлемента µ§:
КММэлемента µ§на теоретико-системномуровне ( ТСУ);
КММэлемента µ§на уровненепараметрическойстатики ( УНС);
КММэлемента µ§на уровнепараметрическойстатики ( УПС);
КММэлемента µ§на уровненепараметрическойдинамики ( УНД);
КММэлемента µ§на уровнепараметрическойдинамики ( УПД).
Рассмотримболее подробноКММ на каждомиз перечисленныхуровней.
КММтеоретико-системногоуровня
Наиболееобщую и абстрактнуюформу описанияфункционированиясистемного
элемент൧дает концептуальнаяметамодельтеоретико-системногоуровня ( ТСУ). Это описаниевключает векторноемножествовходных воздействийна элементµ§
µ§
и векторноемножествовыходных реакций( откликов )элемента µ§
µ§.
Крометого, на рассматриваемомуровне абстракцииучитываетсяфакт связностивек-
торногомножеств൧с соответствующимвекторныммножество쵧посредствомотображения"j".Однако, отображение"j"не указываеткаким образомрассматривае-
мыемножествасвязаны.
Такимобразом, КММтеоретико-системногоуровня задаютсятройкой
µ§. ( 2 )
КММуровня непараметрическойстатики
Второйуровень представленияКММ включаетв рассмотрениеотображени嵧,определяющееправила преобразованиявходов µ§в выходы µ§,т.е. что необходимосделать, чтобыпри услови赧получить µ§,адекватноецелевомуфункционированию элемента µ§.В общем случа嵧- отображениеможет бытьпредставленоскалярной иливекторнойфункцией, атакже функционаломили оператором.Концептуальнаяметамо-
дельуровня непараметрическойстатики,следовательно,представляетсякортежем вида
µ§. ( 3 )
Раскрытиеструктурыпреобразованиявида µ§является основнойзадачей КММуровня µ§. Рассмотримв качествеиллюстрациифункциональноеописание элемент൧,представленноескалярнойфункцией µ§,причем: µ§.
Функционирование элемента µ§( µ§) на УНС описываетсякак отобра-
жени嵧.Это отображениеназываетсяфункцией, еслионо однозначно.Ус-
ловияоднозначностиопределяютсяследующимобразом. Пустьзаданы парызначений
сигналов"вход - выход":
µ§ ( 4 )
Еслииз условия (µ§), следует, что( µ§), то отображе-
ни嵧однозначно.Значениевеличины µ§в любой из парµ§называетсяфунк-
циейот данног. Общий видзаписи функци赧позволяет датьформальное
определениефункции элемент൧в скалярнойформе представления
µ§ ( 5 )
Такимобразом, КММ( 3 ) проинтерпретированав КММ того жеуровня, но вскаляр-
нойформе функциональногопредставления.Отметим, чтобогатствоконцептуальныхметамоделе鵧 функционированиясистемногоэлемент൧( µ§) на уровненепараметрическойстатики определяетсямногообразиемее интерпретацийна матема-
тическом,логическомили логико-математическомязыках описания( представления)
µ§- отображения.
КММуровни параметрическойстатики
ДальнейшаяконкретизацияКММ функционированиясистемногоэлемента µ§
осуществляетсяза счет включенияв рассмотрениефункциональныхпараметроⵧ,определяющихстатическиережимы. Дляэлемента µ§рассматриваютсятри группыпараметров
µ§ ( 6 )
где µ§- совокупностьпараметров{ µ§} входных воздействи鵧
µ§- совокупностьпараметров{ µ§} выходных реакций( откликов ) µ§
µ§- совокупностьпараметров{ µ§} отображенияµ§.
Перечни( номенклатура) параметроⵧ и их значенийопределяютсядля каждоготи-
паконкретноймодели µ§. Для µ§- отображения,по аналогиисо структурнымимоде- лями, вводитсяпонятие конфигурации.С учетомпараметрическогоописания иинтер-
претацийКММ задаетсячетверкой
µ§ ( 7 )
КММуровня непараметрическойдинамики
Следующий,четвертыйуровень конкретизацииКММ функционированиясистем-
ногоэлемента µ§определяетсяучетом в моделиего динамическихсвойств. Динамика элемента µ§рассматриваетсяв несколькихаспектах. Первыйаспект характеризуетсяреакцией элемент൧на динамикуизменениявходных воздействи鵧
принеизменномотображени赧,т.е. когда µ§- скалярная иливекторнаяфункция. Второйаспект определяетсяреакцией элемент൧на входные (статически嵧или ди-
намически嵧) воздействияпри времязависимомотображени赧,т.е. когда µ§-
функционалили оператор,зависящийот времени µ§.
Приизложенныхусловиях КММрассматриваемогоуровня абстракциипредстав-
ляетсякортежем, включающемследующиечетыре компоненты
µ§ ( 8 )
Отметим,что на данномуровне представленияКММ время µ§указываетна факт
наличиядинамическихсвойств, ноне характеризуетих конкретно.
КММуровня параметрическойдинамики
Последний- пятый уровеньдедуктивногопредставленияКММ функционирова-
ниясистемногоэлемента µ§,определяемыйкак уровеньпараметрическойдинамики,включает всерассмотренныеранее аспектымодели, представляемыекортежем ( 1 )
µ§.
В КММрассматриваемогоуровня выполняютсяусловия концептуальнойполноты представленияфункциональныхсвойств элемент൧.Интерпретацията- кой моделина семантическом,синтаксическом,качественноми количественномуров-
няхдает возможностьпорождать (генерировать) любые конкретныематематическиемодели функционированиясистемногоэлемента.
Отметим,что выражения( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 7 ) и ( 8 ) могутбыть представленыв форме традиционныханалитическихзависимостейвида
µ§ ( 9 )
Выводы
Такимобразом, концептуальноеметамоделированиефункционированиясистем-
ногоэлемента µ§на основедедуктивногоподхода приводитк пятиуровневойиерархии моделей,представленнойна рис. .
Практическоеиспользованиепредставленныхвыше КММ длямоделированияфункций системныхэлементов µ§осуществляетсяпосредствомих ретрансляциив тер-минахвыбранногоматематическогоязыка и последующейинтерпретациина четырехперечисленныхвыше уровняхконкретизации.