Смекни!
smekni.com

Основная задача механики (стр. 1 из 3)

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R3 – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 1.

m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг R3 δ, см s, м
m 1/2m 5m 4m 25 0,20 2

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

- сумма работ внешних сил, приложенных к системе;
- сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,


Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

Т = Т1 + Т2 + 4Т3 + Т4. (3)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

(4)

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

, (5)

где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

, (6)

w2 – угловая скорость барабана 2:


.(7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:

, (9)

где VC3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3, J3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

, (10)

w3 – угловая скорость барабана 3.

Мгновенный центр скоростей находится в точке СV. Поэтому

, (11)

. (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13)

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно

. (14)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или

. (15)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести

:

(16)

Работа силы тяжести

:

(17)

Работа пары сил сопротивления качению

:

(18)

где

(19)

(20)

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

(22)

Работа силы тяжести

:

(17)

Работа силы тяжести

:

(23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

Или

. (24)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и

, определяемые по формулам (16) и (24):

,

откуда выводим

м/с.

Дано:

R2=30; r2=20; R3=40; r3=40

X=C2t2+C1t+C0

При t=0 x0=7

=0

t2=2 x2=557 см

X0=2C2t+C1

C0=7

C1=0

557=C2 *52+0*5+7

25C2=557-7=550

C2=22

X=22t2+0t+7

=V=22t

a=

=22

V=r2

2

R2

2=R3
3

3=V*R2/(r2*R3)=(22t)*30/20*40=0,825t

3=
3=0,825

Vm=r3*

3=40*(0,825t)=33t

atm=r3

=0,825t

atm=R3

=40*0,825t=33t

anm=R3

23=40*(0,825t)2=40*(0,825(t)2

a=

***********************************

Дано :R2=15; r2=10; R3=15; r3=15

X=C2t2+C1t+C0

При t=0 x0=6

=3

t2=2 x2=80 см

X0=2C2t+C1

C0=10

C1=7

80=C2 *22+3*2+6

4C2=80-6-6=68

C2=17

X=17t2+3t+6

=V=34t+3

a=

=34

V=r2

2

R2

2=R3
3

3=V*R2/(r2*R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

3=
3=3,4

Vm=r3*

3=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

atm=r3

=3,4t