Смекни!
smekni.com

Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности

Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия

Кафедра: " Детали машин"

Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения по курсу "ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА"

Раздел: "Сопротивление материалов"

Тема: РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПО ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.

Составил: доцент Комаров Н.В.

Кострома 2003


Для решения задания необходимо усвоить тему: "Гипотезы прочности и их применение", т.к в задачах рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид

sэк в = Мэк в/ Wz£[s]

Мэк в - так называемый эквивалентный момент

По гипотезе наибольших касательных напряжений (III - гипотеза прочности)

Мэк в III = (Ми2 + Тк2) 1/2

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (V - гипотезе прочности)

Мэк в V = (Ми2 + 0.75 Тк2) 1/2

В обеих формулах Т - наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала Ми - наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в вертикальных и горизонтальных плоскостях

2. По. заданной мощности Р и угловой скорости w определить вращающие моменты действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F1, Fr1, F2, Fr2 приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mz и My).

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2) 1/2 или

Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2) 1/2

8. Приняв sэк в = [s] определить требуемый осевой момент сопротивления

Wz = М эк в/[s]

9. Учитывая, что для бруса сплошного круглого сечения

Wи = p*dв3/32 » 0.1* dв3

определяем диаметр его d по следующей формуле:

d³ (32* М эк в / p*[s]) 1/3» (М эк / 0.1 [s]) 1/3

Пример: Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости w =30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.

а) Используя, III-гипотезу прочности

б) Используя, V - гипотезу прочности

Принять [s] =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2

Составляем расчетную схему вала: Т15, где Т1 и Т2 - скручивающие пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F1 и F2 на ось вала

Определяем вращающий момент действующий на вал:

Т1 = Т2 = Р/w = 0,5*103 Нм = 0,5 кНм

Вычисляем нагрузку приложенную к валу

F1 = 2*T1/d1 = 2*0.5*103/0.1 = 104 H = 10kH

F2 = 2*T2/d2 = 2*0.5*103/0.25 = 4*103 H = 4kH

Fr1 = 0.4*103 = 4 kH Fr2 = 0.4*4 = 1.6 kH

Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOX (рис б)

åMa = - Fr1 AC - Fr2 AD + RBY*AB = 0

RBY = Fr1 AC + Fr2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH

åMB = - RAY*AB + Fr1*BC + Fr2*DB = 0

RAY = Fr1*BC + Fr2*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH

Проверка:

åY = RAY - Fr1 - Fr2 + RBY = 2-4-1.6+3.6 = 0

åY = 0, следовательно RAY и RBY найдены правильно

Определим реакции опор в горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)

åMA = F1 AC - F2 AD - RBz*AB = 0

RBz = F1 AC - F2 AD / AB = 10*0.05 - 4*0.25/0.3 = - 1.66 kH

Знак минус указывает, что истинное направление реакции RBz противоположно выбранному (см. рис. б)

åMB = RAz*AB - F1*CB + F2*DB = 0

RAz = F1*CB - F2*DB / AB = 10*0.25 - 4*0.05/0.3 = 7.66 kH

Проверка:

åZ = RAz - F1 + F2 - RBz = 7.66-10+4-1.66 = 0

åZ = 0, следовательно реакции RAz и RBz найдены верно.

Строим эпюру крутящих моментов Т (рис в).

Определяем ординаты и строим эпюры изгибающих моментов Mz в вертикальной плоскости (рис. г и д) и Мy- в горизонтальной плоскости.

МCz = RAy*AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм

МDz = RAy*AD - Fr1*CD = 3.6*0.25 - 4*0.2 = 0.1 kHм

МCy = RAz*AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм

МDy = RAz*AD - F1*CD = 7.66*0.25 - 10*0.2 = - 0.085 kHм

Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольший суммарный изгибающий момент в сечении С.

Ми С = (МСz2 + MCy2) 1/2 = (0.182 + 0.3832) 1/2 = 0.423 kHм

и D = (МDz2 + MDy2) 1/2 = (0.12 + 0.0852) 1/2 = 0.13 kHм]

Эквивалентный момент в сечении C по III и V гипотезе прочности

Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2) 1/2 = (0182+ 0.3832+0.52) 1/2 =

= 0.665 kHм

Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2) 1/2 =

= (0.182+0.3832+0.75*0.52) 1/2 = 0.605 kHм

Определяем требуемые размеры вала по вариантам III и V гипотез прочности.

dIII = (Мэк в III / 0.1*[s]) 1/2 = (0.655*103/0.1*160*106) 1/2 =

= 3.45*10-2 (м) = 34.5 (мм)

dVI = (Мэк в V / 0.1*[s]) 1/2 = (0.605*103/0.1*160*106) 1/2 =

= 3.36*10-2 (м) = 33.6 (мм)

Принимаем диаметр вала согласно стандартного ряда значений d=34 мм

Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатыми колёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.

Принять [s] =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2 (Все размеры указаны на рисунках)

№ задачи вариант Р, кВт w, рад/с № задачи вариант Р, кВт w, рад/с
0 0 6 22 1 0 3 25
1 8 36 1 8 48
2 10 40 2 10 50
3 9 30 3 12 40
4 3 45 4 22 24
5 20 50 5 20 60
6 12 68 6 20 22
7 5 20 7 9 36
8 3 50 8 8 42
9 12 48 9 15 35
2 0 10 30 3 0 5 40
1 20 80 1 6 36
2 15 45 2 7 35
3 12 38 3 12 24
4 14 18 4 15 15
5 8 42 5 12 32
6 10 45 6 9 42
7 18 22 7 10 45
8 25 40 8 7 21
9 5 42 9 20 36
4 0 5 18 5 0 20 45
1 10 18 1 19 38
2 12 30 2 21 15
3 24 30 3 18 26
4 6 24 4 15 18
5 12 52 5 16 50
6 3 15 6 8 30
7 15 45 7 7 20
8 19 50 8 10 24
9 20 25 9 13 48
№ задачи вариант Р, кВт w, рад/с № задачи вариант Р, кВт w, рад/с
6 0 4 35 7 0 16 40
1 20 15 1 30 50
2 18 20 2 28 42
3 16 18 3 20 38
4 30 24 4 15 20
5 25 30 5 18 30
6 22 28 6 22 30
7 15 18 7 27 35
8 8 24 8 24 28
9 10 12 9 4 20
8 0 12 38 9 0 40 70
1 15 42 1 30 50
2 10 32 2 32 38
3 20 50 3 25 42
4 23 18 4 12 32
5 14 24 5 28 34
6 16 20 6 20 35
7 24 15 7 10 20
8 26 25 8 14 30
9 6 48 9 35 40