Теорема тейлора (стр. 1 из 3)
Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения
Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).
Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой области представляется в виде степенного ряда:
(1)радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z0 до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.
Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:
(2)где
- произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z0 (в частности, - окружность 
), или по формуле: 
(3)Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции.
Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:
(z принадлежит области комплексных чисел); 
(z принадлежит области комплексных чисел); 
(z принадлежит области комплексных чисел); 
(z принадлежит области комплексных чисел); 
(z принадлежит области комплексных чисел); 
Пример 1. Записать разложение по степеням z функции f (z) = ch z.
Найдем производные функции:
f (n) (z) = ch(n)z = ch z при n= 2k,
f (n) (z) = ch(n)z = sh z при n = 2k-1.
В данном примере z0 = 0. По формуле (3) имеем:
Cn = 0 при n = 2k; Cn= 1/n! при n = 2k-1;
.Так как ch z - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
(z принадлежит области действительных чисел). | Решение примера в среде пакета Mathcad |  | Теоретическая справка |
| Решение примера в среде пакета Mathematica | |
Пример 2. Разложить по степеням (z-3) функцию f(z) = sin z.
Обозначим z-3 = t. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t) = sin3 cos t+cos3 sin t.
Используя основные разложения, имеем:
Так как t = z-3, то
т.е.
где
| Решение примера в среде пакета Mathcad | | Теоретическая справка |
| Решение примера в среде пакета Mathematica | |
Пример 3. Разложить по степеням z функцию
Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:
Раскладываем элементарные дроби по степеням z:
Для исходной дроби получаем разложение:
или, складывая ряды:
Окончательный ответ:
Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).
Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z0 | < R,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)Коэффициенты ряда вычисляются по формуле:
(2)где
- произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z0; в частности, - окружность 
Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).
Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями
называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или 
Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где 
r - радиус контура интегрирования в формуле (2).
На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.
Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z0 (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z0 = 0,
).При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.
Пример 1. Разложить функцию
в ряд Лорана по степеням z.Решение.Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z1 = -1 и z2 = 3. Запишем функцию в виде
Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.
Раскладываем дробь на элементарные дроби:
При | z | < 1 имеем:
Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:
В кольце 1 < | z | < 3:
В итоге имеем:
В круге | z | > 3:
В итоге имеем:
| Решение примера в среде пакета Mathcad | | Теоретическая справка |
| Решение примера в среде пакета Mathematica | |