Кинематика (стр. 1 из 6)

Кинематика

тема 1кинематика точки

1.1 предмет изучения

С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика».

Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам.

Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени.

Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или какой-либо его точки) найти все остальные
кинематические характеристики движения.

Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку.

1.2 Способы задания движения точки

Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.

1.2.1 Векторный способ

Положение движущейся точки М определяется с помощью радиуса вектора

, проведенного из некоторого неподвижного центра О в эту точку (рис. 1.1). В процессе движения этот вектор изменяется по величине и направлению, т.е. является функцией времени. Зависимость

(1.1)

называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения.

1.2.2 Координатный способ

С неподвижным центром О связывается неподвижная система координат ОХ у Z. Положение точки определяется тремя координатами: х, у, z (рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени.

Зависимости

х=f₁(t); у=f₂(t); z=f₃(t) (1.2)

называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t).

Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t.

1.2.3 Естественный способ

При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета.

Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S, измеряемой вдоль траектории. Зависимость

S = f(t) (1.3)

называется уравнением движения в естественной форме.

1.2.4 Связь между способами задания движения

Координатный векторный способы связаны зависимостью:

Переход от координатного способа к естественному:

(т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой).

1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения

Направлен вектор скорости по касательной к траектории.

Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.

1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.

направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6).