Риск и страхование (стр. 3 из 5)

Среднее квадратическое отклонение с.в. Q, т.е.

[Q]=√(D[E]), обозначается

также σ_Q.

Отметим, что средний ожидаемый доход, или эффективность операции, как и среднее квадратическое отклонение, измеряется в тех же единицах, что и доход.

Напомним фундаментальный смысл математического ожидания с.в.

Среднее арифметическое значений, принятых с.в. в длинной серии опытов, примерно равно ее математическому ожиданию. Все более признанным становится оценка рискованности всей операции посредством среднего квадратического отклонения случайной величины дохода Q, т.е. посредством σ_Q. В данной книге это основная количественная оценка.

Итак, риском операции называется число σ_Q– среднее квадратическое отклонение случайного дохода операции Q. Обозначается также r_Q.

Пример 2.

Найдем риски первой и второй операций из примера 1:

Q1:	-5	25	Q2:	15	25
	0,01	0,99		0,5	0,5

Сначала вычисляем математическое ожидание с.в. Q₁:

т₁=–5*0,01+25*0,99=24,7. Теперь вычислим дисперсию по формуле D₁=M[Q₁²]-m₁². Имеем М[Q₁²]=25*0,01+625*0,99=619. Значит, D₁=619–(24,7)2=8,91 и окончательно r₁=2,98.

Аналогичные вычисления для второй операции дают m₂=20; r₂=5. Как и «полагала интуиция», первая операция менее рискованная.

Предлагаемая количественная оценка риска вполне согласуется с интуитивным пониманием риска как степени разбросанности исходов операции – ведь дисперсия и среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии) и суть меры такой разбросанности.

Другие измерители риска.

По нашему мнению, среднее квадратическое отклонение является наилучшим измерителем риска отдельной операции. В гл. 1 рассмотрены классическая схема принятия решений в условиях неопределенности и оценки риска в этой схеме. Полезно познакомиться: с другими измерителями риска. В большинстве случаев эти измерители – просто вероятности нежелательных событий.

2.3. Некоторые общие измерители риска

Пусть известна функция распределения F случайного дохода операции Q. Зная ее, можно придать смысл следующим вопросам и ответить на них.

1. Какова вероятность того, что доход операции будет менее заданного s. Можно спросить по–другому: каков риск получения дохода менее заданного? Ответ: F(s ).

2. Какова вероятность того, что операция окажется неуспешной, т.е. ее доход будет меньше среднего ожидаемого дохода m?

Ответ: F(m) .

3. Какова вероятность убытков и каков их средний ожидаемый размер? Или каков, риск убытков и их оценка?

Ответ:

4. Каково отношение средних ожидаемых убытков к среднему ожидаемому доходу? Чем меньше это отношение, тем меньше риск разорения, если ЛПР вложил в операцию все свои средства.

Ответ:

При анализе операций ЛПР желает иметь доход побольше, а риск поменьше. Такие оптимизационные задачи называют двухкритериальными. При их анализе два критерия – доход и риск – часто «свертывают» в один критерий. Так возникает, например, понятие относительного риска операции. Дело в том, что одно и то же значение среднего квадратического отклонения σ_Q, которое измеряет риск операции, воспринимается по-разному в зависимости от величины среднего ожидаемого дохода т_Q, поэтому величину σ_Q/т_Q иногда называют относительным риском операции. Такую меру риска можно трактовать как свертку двухкритериальной задачи

σ_Q→min,

т_Q→max,

т.е. максимизировать средний ожидаемый доход при одновременной минимизации риска.

2.4. Риск разорения

Так называется вероятность столь больших потерь, которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.

Пример 3.

Пусть случайный доход операции Q имеет следующий ряд распределения, и потери 35 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, риск разорения в результате данной операции равен 0,8;

Q:	-50	-40	-35	100
	0,1	0,2	0,5	0,2

Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают.

2.5. Показатели риска в виде отношений.

Если средства ЛПР равны С, то при превышении убытков У над С возникает реальный риск разорения. Для предотвращения этого отношение К₁=У/С, называемое коэффициентом риска, ограничивают специальным числом ξ₁. Операции, для которых этот коэффициент превышает ξ1, считают особо рискованными. Часто учитывают также вероятность р убытков У и тогда рассматривают коэффициент риска К₂=рY/С, который ограничивают другим числом ξ₂ (ясно, что ξ₂≤ ξ₁). В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения С/У и С/(рУ), которые называют коэффициентами покрытия рисков и которые ограничиваются снизу числами 1/ ξ₁ и 1/ ξ₂.

Именно такой смысл имеет так называемый коэффициент Кука, равный отношению:

Коэффициент Кука используется банками и другими финансовыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» выступают вероятности – риски потери соответствующей актива.

2.6. Кредитный риск

Так называется вероятность невозврата в срок взятого кредита.

Пример 4.

Статистика запросов кредитов такова: 10% – государственные органы, 30% – другие банки и остальные – физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01; 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но в факсовом сообщении имя клиента было плохо пропечатано. Какова вероятность, что данный кредит не возвращает какой–то банк?

Решение. Вероятность невозврата найдем по формуле полной вероятности. Пусть Н₁- запрос поступил от госоргана, Н₂– от банка, Н₃– от физического лица и А - невозврат рассматриваемого кредита. Тогда

Р(А)=Р(Н₁)Р_H1А+Р(Н₂)Р_H2А+Р(Нз)P_H3А=0,1*0,01+0,3*0,05+0,6*0,2=0,136.

Вторую вероятность найдем по формуле Байеса. Имеем

Р_AН₂=Р(Н₂)Р_H2А/Р(А)=0,015/0,136=15/136≈1/9.

Как в реальности определяют все приведенные в этом примере данные, например, условные вероятности Р_H1А? По частоте невозврата кредита для соответствующей группы клиентов. Пусть физические лица взяли всего 1000 кредитов и 200 не вернули. Значит, соответствующая вероятность Р_H3А оценивается как 0,2. Соответствующие данные – 1000 и 200 берутся из информационной базы данных банка.

Глава 3. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ РИСКОВ

Как правило, риск стараются уменьшить. Для этого существует немало методов. Большая группа таких методов связана с подбором других операций. Таких, чтобы суммарная операция имела меньший риск.

3.1. Диверсификация

Напомним, что дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий. Из этого вытекает следующее утверждение, лежащее в основе метода диверсификации.

Утверждение 1.

Пусть О₁,...,О_n– некоррелированные операции с эффективностями е₁,...,е_n и рисками r₁,...,r₂. Тогда операция «среднее арифметическое» О=(О₁+...+O_n)/п имеет эффективность е=(e₁+...+e_n)/n и риск r=√(r₁²+…r²_n)/n.

Доказательство этого утверждения – простое упражнение на свойства математического ожидания и дисперсии.

Следствие 1.

Пусть операции некоррелированы и а≤e_i и b≤r_i≤c с для всех i=1,..,n. Тогда эффективность операции «среднее арифметическое» не меньше а (т.е. наименьшей из эффективностей операций), а риск удовлетворяет неравенству b√n≤r≤c√n и, таким образом, при увеличении n уменьшается. Итак, при увеличении числа некоррелированных операций их среднее арифметическое имеет эффективность из промежутка эффективностей этих операций, а риск однозначно уменьшается.

Этот вывод называется эффектом диверсификации (разнообразия) и представляет собой в сущности единственно разумное правило работы на финансовом и других рынках. Этот же эффект воплощен в народной мудрости – «не клади все яйца в одну корзину». Принцип диверсификации гласит, что нужно проводить разнообразные, не связанные друг с другом операции, тогда эффективность окажется усредненной, а риск однозначно уменьшится.