Филлотаксис и последовательность Фибоначчи

Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом

В. Березин

Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»).

Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.

Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой

Fn = Fn–1 + Fn–2 .

Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α2 = 1 – α.

Выразим значения степеней α3 , α4 , α5 , ... через 1 = α0 и α:

α3 = α·α2 = 2α – 1,
α4 = 2 – 3α,
α5 = 5α – 3, ...

Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F1 ? По-видимому, и для любого n можно записать формулу

αn = (–1)n (Fn–1 – Fn α),

где Fn–1 и Fn — члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:

αn+1 = αn ·α = (–1)n (Fn–1 α – Fn α2 ) = (–1)n (Fn–1 α – Fn (1 – α)) =
= (–1)n (–Fn + (Fn–1 + Fn )α) = (–1)n+1 (Fn – Fn+1 α).

У уравнения α2 = 1 – α два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,

(–1)n α1 n = Fn–1 – Fn α1 ,
(–1)n α2 n = Fn–1 – Fn α2 .

Решая эту систему относительно Fn , получаем, что

Fn =

1

√5

(

1 + √5

2

) n (

1 – √5

2

) n .

И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.

Следующую неожиданность получим, если вычислим

lim
n → ∞

Fn

Fn+1

=

√5 – 1

2

.

Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.

Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:

n n
Fn+2 = 1 + Fk , F2n = F2k–1 ,
k=1 k=1
n 2n–1
F2n+1 = 1 + F2k , F2n–2 = –1 + (–1)k–1 Fk ,
k=1 k=1
2n–1
F

2

2n

= Fk Fk+1 , F2n–1 = F

2

n

+ F

2

n–1

.
k=1

Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, «всякое может быть». Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах, и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. :) И наконец, главное: этот файл содержит линк на видеоролик, в котором рассказывается и про подсолнух, и про прямоугольник, «приятный глазу», и про золотое сечение. В общем, почти видеоверсия данной статьи. А то, что закадровый комментарий на английском, так это и неплохо — лишний повод поупражняться в языке.