Автор статьи: Виноградов Алексей Юрьевич

Численные методы решения жестких и нежестких краевых задач (10 методов)

СОДЕРЖАНИЕ: монография

МЕЖОТРАСЛЕВОЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНОГО КОНСАЛТИНГА
Виноградов А.Ю.
Численные методы решения жестких и нежестких краевых задач
Монография
Москва 2017
УДК 51(075.8)
ББК 22.311я73
В 49
Рекомендовано к публикации ученым советом Межотраслевого научно-исследовательского института институционального консалтинга.
Рецензенты:
Гамонов Евгений Викторович – доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник SITU IBC
Варламов Антон Олегович – кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник АНОО ДПФО "НИПИ"
Виноградов А.Ю.
Численные методы решения жестких и нежестких краевых задач: монография / А.Ю. Виноградов. – Москва: National Research, 2017. 112с.
ISBN 978-5-9908927-1-2
Предлагаются: Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К. Годунова, 3 метода для нежестких случаев краевых задач, 2 метода для жестких случаев краевых задач, 1 метод расчета оболочек составных и со шпангоутами. По сравнению с монографией «Методы решения жестких и нежестких краевых задач» добавлен материал усовершенствования метода С.К.Годунова, добавлено усовершенствование метода дифференциальной прогонки А.А.Абрамова, добавлен метод для краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений только с четными производными, добавлено графическое предложение метода численного решения дифференциальных уравнений. Сохранены 3 программы на С++, которые реализуют 2 лучших метода из изложенных.
Публикуется в авторской редакции.
ISBN 978-5-9908927-1-2
© А.Ю. Виноградов, 2017
В 49
Оглавление
Введение ........................................................................................................... 5
Глава 1. Известные формулы теории матриц для обыкновенных дифференциальных уравнений ................................................................... 10
Глава 2. Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К. Годунова для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями ........................................................... 12
2.1. Формула для начала счета методом прогонки С.К. Годунова ......... 12
2.2. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова ...................................................................................................................... 15
2.3. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутты в методе прогонки С.К.Годунова .............................................................................. 16
2.4. Матрично-блочные выводы и реализация алгоритмов начала вычислений для метода С.К. Годунова .................................................... 16
2.5. Сопряжение частей интервала интегрирования для метода С.К. Годунова ...................................................................................................... 18
2.6. Свойства переноса краевых условий в методе С.К. Годунова ......... 19
2.7. Модификация метода С.К. Годунова ................................................ 20
Глава 3. Метод «переноса краевых условий» (прямой вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями ........................................................... 22
Глава 4. Метод «дополнительных краевых условий» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями .................................................................................................. 23
Глава 5. Метод «половины констант» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями ........ 25
Глава 6. Метод «переноса краевых условий» (пошаговый вариант метода) для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями ........................................................... 26
6.1. Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования ....................................................................... 26
6.2. Случай «жестких» дифференциальных уравнений ........................ 27
6.3. Формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений ................................................. 29
6.4. Применяемые формулы ортонормирования ................................... 32
Глава 7. Простейший метод решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями без ортонормирования – метод «сопряжения участков интервала интегрирования», которые выражены матричными экспонентами ....... 34
Глава 8. Расчет оболочек составных и со шпангоутами простейшим методом «сопряжения участков интервала интегрирования» ................. 36
8.1. Вариант записи метода решения жестких краевых задач без ортонормирования – метода «сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами» - через положительные направления формул матричного интегрирования дифференциальных уравнений 36
8.2. Составные оболочки вращения ......................................................... 37
8.3. Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями ................................................................ 39
8.4. Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута) выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора, состоящие из конкретных физических параметров ............................................................................ 42
Глава 9. Анализ и упрощение метода А.А. Абрамова ................................ 45
Глава 10. Метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений только с четными производными ........ 48
10.1. Разрешающие уравнения задач только с четными производными ..................................................................................................................... 48
10.2. Основы метода ...................................................................................49
Приложение 1. Постановка задачи, результаты расчетов и программа на С++ расчета цилиндрической оболочки - для метода из главы 6 ............ 53
Приложение 2. Программа на С++ расчета сферической оболочки (переменные коэффициенты) - для метода из главы 6 ............................. 67
Приложение 3. Постановка задачи, результаты расчетов и программа на С++ расчета цилиндра – для метода из главы 7 ....................................... 80
Приложение 4. Метод главы 7 и программа для этого метода на С++ на английском языке ........................................................................................ 89
Приложение 5. Графическое предложение метода численного решения дифференциальных уравнений ................................................................. 105
Список опубликованных работ .................................................................. 107
5
Введение
Актуальность проблемы:
Решение проблемы снижения веса конструкций связано с их усложнением и использованием тонкостенных элементов. Даже простейший вариантный способ конструктивной оптимизации требует параметрических исследований на ЭВМ с использованием численных методов решения краевых задач. Самыми известными среди них являются:
‒ конечно-разностные методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных аппроксимаций производных;
‒ различные модификации метода конечных элементов, метод Бубнова-Галеркина, метод Релея-Ритца, основу которых составляют аппроксимации решений дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями заданных функций: полиномов, тригонометрических функций и т.п.;
‒ методы численного определения интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений Рунге-Кутты, Вольтерра, Пикара и т.п.
Главным успехом методов конечных разностей и конечных элементов является то, что на их основе построены универсальные алгоритмы и созданы пакеты прикладных программ расчета сложных пространственных силовых конструкций. Построенные вычислительные средства способны выявить поток сил в конструкции и, следовательно, самые напряженные ее элементы. Тем не менее, они требуют неоправданно высоких затрат усилий программиста и мощнейших вычислительных средств, когда ставится задача определения напряжений в местах их концентрации.
Наиболее очевидная эффективность методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в расчете отдельных частей сложных пространственных конструкций и их отдельных тонкостенных элементов с уточнением напряженно-деформированного состояния в местах его быстрого изменения. Эффективность определяется малыми затратами труда программиста, малыми затратами машинного времени и оперативной памяти ЭВМ.
Таким образом, повышение эффективности известных численных методов, построение их модификаций и построение новых методов, является актуальной задачей исследований.
Предлагаемая научная новизна состоит в следующем:
6
1. Усовершенствован метод ортогональной прогонки С.К. Годунова,
2. Предложен метод «переноса краевых условий» (прямой вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,
3. Предложен метод «дополнительных краевых условий» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,
4. Предложен метод «половины констант» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,
5. Предложен метод «переноса краевых условий» (пошаговый вариант метода) для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,
6. Предложен простейший метод решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями без ортонормирования – метод «сопряжения участков интервала интегрирования», которые выражены матричными экспонентами,
7. Предложен простейший метод расчета оболочек составных и со шпангоутами.
8. Усовершенствован метод дифференциальной прогонки А.А. Абрамова.
9. Предложен метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений только с четными производными.
10. Графически предложен метод численного решения дифференциальных уравнений.
Некоторые работы, на которых основывается изложение методов, опубликованы совместно с д.ф.-м.н. профессором Ю.И.Виноградовым.
Вклад д.ф.-м.н. профессора Ю.И. Виноградова в эти совместные публикации заключался либо 1) в обсуждении результатов проверочных расчетов тех формул и методов, которые предложил А.Ю. Виноградов, либо в том, что 2) в дополнение к методам А.Ю. Виноградова было предложено Ю.И. Виноградовым указание, что матрицы Коши можно вычисять не только в виде матричных экспонент, а дополнительно есть возможность их вычислять в смысле функций Коши-Крылова, используя для этого полученные кем-либо аналитические решения систем дифференциальных уравнений строительной механики пластин и оболочек, либо в том, что 3) Ю.И. Виноградов предложил свою, отличную от формулы А.Ю. Виноградова, формулу вычисления вектора частного
7
решения неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая выглядит, однако, гораздо более сложной по сравнению с простой формулой А.Ю. Виноградова.
Так же в соавторах отдельных статей указаны еще Ю.А. Гусев и Ю.И. Клюев. Их вклад в материал публикаций состоял в выполнении многовариантных проверочных расчетов в соответствии с формулами, алгоритмами и методами, которые предложил А.Ю Виноградов в своей кандидатской диссертации. Кандидатская физ-мат диссертация А.Ю. Виноградова была защищена в 1996 году.
Дополнительно можно сказать, что на основе материла из кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова были выполнены еще 2 кандидатских физико-математических диссертации под руководством Ю.И. Виноградова, материал которых состоит в основном в многовариантном применении и в проверке рассчетами того, что было предложено А.Ю. Виноградовым в его кандидатской диссертации. В применении к различным конкретным задачам строительной механики тонкостенных оболочек с выявлением и анализом свойств формул, алгоритмов и методов из кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова.
Вот данные этих 2 диссертаций: Год: 2008 Петров, Виталий Игоревич «Приведение краевых задач к начальным и исследование концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях мультипликативным методом» Ученая cтепень: кандидат физико-математических наук Код cпециальности ВАК: 05.13.18 Специальность: Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Год: 2003 Гусев, Юрий Алексеевич «Мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в задачах механики деформирования оболочек» Ученая степень: кандидат физико-математических наук Код cпециальности ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика деформируемого твердого тела.
Кроме того, в соответствии с современными возможностями интернета и при наличии новых диссертаций в открытом доступе было выявлено применение материалов из кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова с соответствующими ссылками на соответствующие статьи А.Ю. Виноградова в следующих кандидатских и докторских диссертациях технических и физико-математических наук:
Год: 2005 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт вычислительных технологий Юрченко Андрей
8
Васильевич ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Новосибирск. Год: 2003 "Методы и алгоритмы определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных подкрепленных конструкций вращения из нелинейно-упругого материала" Автор научной работы: Кочетов, Сергей Николаевич Ученая cтепень: кандидат технических наук Место защиты диссертации: Москва Код cпециальности ВАК: 05.23.17 Специальность: Строительная механика. Год: 1998 «Развитие метода суперэлементов применительно к задачам статики и динамики тонкостенных пространственных систем» Автор научной работы: Чеканин, Александр Васильевич Ученая cтепень: доктор технических наук Место защиты диссертации: Москва Код cпециальности ВАК: 05.23.17 Специальность: Строительная механика.
Год: 2005 Автор научной работы: Голушко, Сергей Кузьмич «Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения» Ученая cтепень: доктор физико-математических наук Место защиты диссертации: Новосибирск Код cпециальности ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика деформируемого твердого тела.
Год: 2003 Автор научной работы: Газизов, Хатиб Шарифзянович «Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения» Ученая cтепень: доктор технических наук Место защиты диссертации: Уфа Код cпециальности ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика деформируемого твердого тела.
Год: 2001 Автор научной работы: Шленов, Алексей Юрьевич «Динамика структурно-неоднородных оболочечных конструкций с учетом упруго-пластических свойств материала» Ученая cтепень: кандидат физико-математических наук Место защиты диссертации: Москва Код cпециальности ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика деформируемого твердого тела.
Год: 1996 Автор научной работы: Рогов, Анатолий Алексеевич «Динамика трубопровода после разрыва» Ученая cтепень: кандидат физико-математических наук Место защиты диссертации: Москва Код cпециальности ВАК: 01.02.04 Специальность: Механика деформируемого твердого тела.
Статьи кандидата физико-математических наук А.Ю. Виноградова опубликованы в таких журналах ВАК как:
9
1. Доклады Академии наук РФ – 2 статьи
2. Механика твердого тела РАН – 2 статьи
3. Журнал вычислительной математики и математической физики РАН – 1 статья
4. Математическое моделирование РАН – 2 статьи
5. Фундаментальные исследования – 1 статья
6. Современные проблемы науки и образования – 1 статья
7. Современные наукоемкие технологии – 1 статья.
Всего заимствованные в этой работе формулы решения краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений были взяты только из 4 источников:
1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки)// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961. - T.I. -N3. -С.542-545.
2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.:Физматгиз, 1962. -Т.2. - 635 с.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М,:Наука, 1988. - 548 с,
4. Годунов С,К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи математических наук, 1961. -Т. 16, вып. 3, (99). – с.171-174.
Следует сказать, что объем заимствованных и приведенных в работе формул других авторов составляет 5 страниц, а объем предложенных А.Ю.Виноградовым собственных формул составляет 46 страниц. Плюс написанные А.Ю. Виноградовым программы (коды) на современном и наиболее популярном языке программирования С++ составляют 34 страницы. Часть материалов переведена на английский язык.
10
Глава 1. Известные формулы теории матриц для
обыкновенных дифференциальных уравнений
Изложение всех методов ведется на примере системы
дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты –
системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка
(после разделения частных производных методом Фурье).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
имеет вид:
Y (x)  AY(x)  F(x) ,
где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y (x) –
производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A – квадратная
матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности
8х8, ) ( x F – вектор-функция внешнего воздействия на систему
размерности 8х1.
Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо
черточек над буквами
Краевые условия имеют вид:
(1) ,
(0) ,
Y v
Y u


V
U
где Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0
размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица
коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u –
вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,
) 1( Y – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1
размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица
коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v –
вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет
матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи
Коши имеет вид [Гантмахер]:
    
x
x
A x x Ax At x e x e e t dt
0
0
( 0) Y( ) Y( ) F( ) ,
где ( ) ( ) / 2! ( ) /3! ... 3
0
2 3
0
2
0
( 0)          e E A x x A x x A x x x x A , где E - это
единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или
матрициантом и может обозначаться в виде:
( 0)
0 0 ( ) ( ) A x x K x x K x x e      .
11
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x  K xx x  xx  Y Y Y ,
где     
x
x
Ax At x x e e t dt
0
0 Y ( ) F( ) это вектор частного решения
неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости
матричных экспонент (матриц Коши):
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0 1 1 2 2 1 1 0 K x x K x x K x x K x x K x x i i i i i             
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет
матрицу с переменными коэффициентами ) (x AA , решение задачи Коши
предлагается, как это известно, искать при помощи свойства
перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования
разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши
приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в
экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках,
перемножаются:
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0 1 1 2 2 1 1 0 K x x K x x K x x K x x K x x i i i i i              ,
где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:
( ) exp( ( ) ) ( )
1 i i
A xi xi
i i K x x  e  A x x 
 , где i i i x  x  x 1 .
12
Глава 2. Усовершенствование метода ортогональной
прогонки С.К. Годунова для решения краевых задач с
жесткими обыкновенными дифференциальными
уравнениями
2.1. Формула для начала счета методом прогонки С.К.
Годунова
Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.
Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это
тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A
коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция
) (x Y будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут
прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.
Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение
ищется в следующем виде [Годунов]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 x x c x c x c x c x  Y Y Y Y Y Y 1 2 3 4 ,
или можно записать в матричном виде:
(x) (x) (x)  Y Y c Y матрица ,
где векторы (x), (x), (x), (x) 1 2 3 4 Y Y Y Y - это линейно независимые вектора-
решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор
(x)  Y - это вектор частного решения неоднородной системы
дифференциальных уравнений.
Здесь (x) (x), (x), (x), (x) матрица 1 2 3 4 Y  Y Y Y Y это матрица размерности 8х4, а
c это соответствующий вектор размерности 4х1 из искомых констант
1 2 3 4 c ,c ,c ,c .
Но вообще-то решение для такой краевой задачи с размерностью 8
(вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4
линейно независимых векторов (x), (x), (x), (x) 1 2 3 4 Y Y Y Y , а полностью из всех 8
линейно независимых векторов-решений однородной системы
дифференциальных уравнений:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 6 7 8
1 2 3 4
x c x c x c x c x
x x c x c x c x c
     
    
Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y
5 6 7 8
1 2 3 4
И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и
состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных
векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной
констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для
13
прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти
эти константы из условий на правом крае.
То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения
таких начальных значений (0), (0), (0), (0), (0)  Y Y Y Y Y 1 2 3 4 векторов
(x), (x), (x), (x), (x)  Y Y Y Y Y 1 2 3 4 , чтобы можно было начать прогонку с левого
края x =0, то есть чтобы удовлетворялись условия u Y  ) 0 ( U на левом крае
при любых значениях констант 1 2 3 4 c ,c ,c ,c .
Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что
дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а
через физические параметры и рассматриваются самые простейшие
условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные
значения (0), (0), (0), (0), (0)  Y Y Y Y Y 1 2 3 4 можно было угадать. То есть задачи со
сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с
упругими условиями на краях.
Ниже предлагается формула для начала вычислений методом
прогонки С.К.Годунова.
Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения
краевых условий на левом крае:
UY(0)  u ,
где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.
В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на
левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей орто U
размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:
орто Y(0)  u орто U ,
где в результате ортонормирования матрицы U вектор u
преобразован в вектор орто u .
Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных
алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].
Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу орто U до
квадратной невырожденной матрицы W :
M
U
W орто  ,
где матрица M размерности 4х8 должна достраивать матрицу орто U
до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.
В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то
есть выражения тех физических параметров, которые не входят в
параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне
14
возможно, так как у краевых задач столько линейно независимых
физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном
случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с
правого края.
Завершим ортонормирование построенной матрицы W , то есть
выполним построчное ортонормирование и получим матрицу орто W
размерности 8х8 с ортонормированными строками:
орто
орто
орто M
U
W  .
Можем записать, что
T
орто транспонированная орто (0)  (M )  M матрица Y .
Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова,
получим:
(0) (0) (0)  Y Y c Y матрица
или
(0) (0)  Y  c Y T
орто M .
Подставим эту последнюю формулу в краевые условия орто Y(0)  u орто U
и получим:
орто c Y  u  [ (0)] T
орто орто U M .
Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не
влияют, так как
 0 T
орто орто U M и остается только найти вектор (0)  Y из выражения:
орто Y  u  (0) орто U .
Но матрица орто U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до
квадратной невырожденной, чтобы найти вектор ) 0(  Y из решения
соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:
0
u
Y орто
орто
орто
M
U
  (0) ,
где 0 - любой вектор, в том числе вектор из нулей.
Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:
0
u
Y орто
орто
орто
M
U
1
(0)

  .
Тогда формула для начала вычислений методом прогонки
С.К.Годунова имеет вид:
0
u
Y c орто
орто
T орто
орто M
U
M
1
(0)

  .
15
Из теории матриц [Гантмахер] известно, что если матрица
ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная
матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:
0
u
Y c орто
T
орто
T орто
орто M
U
(0)  M  ,
0
u
Y c T орто
орто
T
орто
T
орто (0)  M  U M ,
Y c u 0 T
орто орто
T
орто
T
орто (0)  M U M ,
орто
T
орто
T
орто Y(0)  M c U u .
Вектора-столбцы из матрицы T
орто M
и вертикальный вектор-свертка
орто
T
орто U u являются линейно независимыми и удовлетворяют краевому
условию u Y  ) 0 ( U .
2.2. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки
С.К.Годунова
Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до
квадратной невырожденной:
M
U .
Начальные значения (0), (0), (0), (0), (0)  Y Y Y Y Y 1 2 3 4 находятся из решения
следующих систем линейных алгебраических уравнений:
0
u
Y   (0)
M
U ,
,
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
(0)  , где i 
i
0
Yi M
U
где 0 - вектор из нулей размерности 4х1.
Вектора-столбцы (0) i Y и вектор-столбец (0)  Y являются линейно
независимыми и участвуя в формировании вектора Y(0) удовлетворяют
краевому условию UY(0)  u .
16
2.3. Замена метода численного интегрирования Рунге-
Кутты в методе прогонки С.К.Годунова
В методе С.К.Годунова, как показано выше, решение ищется в виде:
(x) (x) (x)  Y Y c Y матрица .
На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова
между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутты
пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:
( ) ( ) ( ) j j i i x K x x x матрица матрица Y   Y .
Так выполнять вычисления быстрее, особенно для
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, так как
в случае постоянных коэффициентов достаточно вычислить один раз
матрицу Коши на малом участке и в последующем лишь умножать на эту
однажды вычисленную матрицу Коши.
И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор (x)  Y
частного решения неоднородной системы дифференциальных
уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод
Рунге-Кутты, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод
Рунге-Кутты.
2.4. Матрично-блочные выводы и реализация алгоритмов
начала вычислений для метода С.К. Годунова
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений,
выражающую краевые условия при х=0
UY(0)  u
Пусть имеется построенная квадратная невырожденная матрица
* U
U
G  .
Аналогично запишем вектор * u
u
g  , где введенный вектор * u
является неизвестным.
Запишем систему линейных алгебраических уравнений
GY(0)  g
или в блочном виде
* u
u
Y(0)  * U
U
.
Отсюда следует, что
17
g g
u
u
Y * G N
U
U
   

1
1
* (0) .
Представим * T T N  .
Тогда
*
* * u u
u
u
g g
u
u
Y 1 * *
1
* (0) G N T T T T
U
U
      

.
В тоже время помним, что решение краевой задачи ищется в виде
(x) (x) (x)  Y Y c Y матрица .
Сравнивая
u u Y * T T   * ) 0( и ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (  Y Y c Y матрица
при том, что здесь вектор неизвестных констант это u c *  , то
получаем начальные значения векторов для начала интегрирования в
методе С.К. Годунова:
  T ) 0( матрица Y и u Y T   ) 0( .
Другой матричный вывод можно изложить в следующем виде.
Преобразуем систему
* u
u
Y(0)  * U
U
путем построчного ортонормирования к эквивалентной системе с
ортонормированными строками
* w
w
Y(0)  * W
W
.
Тогда можно записать
* * *
*
1
* (0) w w
w
w
w
w
w
w
Y * * *
T T T T
T
W W W W
W
W
W
W
    

.
Делая сравнение двух выражений:
(0) (0) (0)  Y Y c Y матрица
Y w w T T W W * * (0)
и из того, что * c  w - вектор неизвестных констант, получаем:
T W (0)  матрица Y и Y w T W  (0) .
Заметим, что возможен еще один матрично-блочный вывод
формул.
Переход от системы
* u
u
Y(0)  * U
U
к системе
18
* w
w
Y  ) 0( * W
W
можно осуществить еще одним способом, заменив построчное
ортонормирование g Y  ) 0( G на следующее ортонормированное
разложение матрицы G
JL G T 
где матрица J имеет ортонормированные столбцы, а матрица L
верхнетреугольная.
Тогда, учитывая правило транспонирования произведения матриц,
можем записать
T T J L G  .
В результате получим
g Y  ) 0( G , gY) 0( T T J L , g Y 1 ) ( ) 0(   T T L J .
Здесь строки матрицы T J ортонормированные.
Сравнивая
* w
w
Y  ) 0( * W
W
и
Y g 1 (0) ( )  T T J L
получаем
T J
W
W
 * , * * u
u
g
w
w 1 1 ( ) ( )    T T L L .
Таким образом, опять получаем ортонормированные начальные
значения искомых вектор-функций решения.
2.5. Сопряжение частей интервала интегрирования для
метода С.К. Годунова
Для автоматизации вычислительного процесса на всем интервале
интегрирования, который составлен для сопряженных оболочек с
различными физическими и геометрическими параметрами,
деформирование которых описывается различными функциями,
необходимо иметь процедуры сопряжения соответствующих функций.
В общем случае разрешающие функции различных частей
интервала интегрирования задачи не имеют физического смысла, а
физические параметры задачи выражаются различным образом через
эти функции и их производные. Вместе с этим сопряжение смежных
19
участков должно удовлетворять кинематическим и силовым условиям в
точке сопряжения.
Решить задачу сопряжения частей интервала интегрирования
можно следующим образом. Вектор Р, содержащий физические
параметры задачи формируется при помощи матрицы М коэффициентов
и искомой вектор-функции Y(x):
P  MY (x)
где М - квадратная невырожденная матрица.
Тогда в точке сопряжения х=х* можем записать выражение
( ) ( ) * * M x M x    Y  P  Y - ,
где P - вектор, соответствующий дискретному изменению
физических параметров при переходе через точку сопряжения от левого
участка к правому; индекс "-" означает "слева от точки сопряжения", а
индекс "+" означает "справа от точки сопряжения".
В методе прогонки Годунова вектор-функция ) ( x Y задачи на каждом
участке ищется в виде
(x) (x) (x)  Y Y c Y матрица
Предположим, что точка сопряжения не совпадает с точкой
ортогонального преобразования. Тогда выражение условий сопряжения
смежных участков
( ) ( ) * * M x M x    Y  P  Y -
примет вид
M ( (x) (x)) M ( (x) (x))  

  

 Y c Y  P  Y c Y -матрица - матрица .
Если теперь потребовать
 c  c -
то при прямом ходе метода прогонки продолжить интегрирование
при переходе точки сопряжения слева направо можно по следующим
выражениям:
( ) ( ) 1 x M M x матрица -матрица Y Y 

   ,
( ) ( ( ) ) 1 Y Y P *
-
*    

  x M M x .
2.6. Свойства переноса краевых условий в методе С.К.
Годунова
При решении краевой задачи для системы "жестких" линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений методом С.К. Годунова
говорят, что осуществляется дискретная ортогонализация по методу
20
Грамма-Шмидта применительно к вектор-функциям, образующим
многообразие решений данной задачи, с целью преодоления тенденции
вырождения этих вектор-функций в линейно зависимые.
Вместе с тем, при реализации метода Годунова одновременно
происходит и перенос краевых условий от начального для
интегрирования края к другому. Покажем свойства этого переноса.
Ранее было записано
(0) (0) (0)  Y Y c Y матрица
Y w w T T W W * * (0)
T W   ) 0( матрица Y и w Y T W   ) 0( .
Тогда можно сказать, что:
‒ вектор w*, который неизвестен, является вектором констант с,
‒ в тоже время вектор w* имеет физический смысл неизвестного
на краю х=0 внешнего воздействия на деформируемую систему,
‒ матрица W* является матрицей краевых условий, неизвестных
на краю х=0.
Из сформулированных положений следует, что перенос граничных
условий в методе С.К. Годунова имеет следующий смысл.
Продолжение интегрирования, начиная с вектора Y w T W  (0) ,
означает перенос "свертки" w T W матричного уравнения краевых условий
при х=0 к правому краю х=1.
Продолжение интегрирования, начиная с векторов в матрице
(0) матрица Y означает, что матрица краевых условий W*, которые неизвестны
на краю х=0, переносится на край х= 1.
Интегрирование дифференциальных уравнений ведется с целью
переноса на край х=1 вектора с, а значит вектора w*, который выражает
условия неизвестные на краю х=0.
Перенос матрицы W* и вектора w* означает, что матричное
уравнение * * Y (0)  w  W краевых условий, которые неизвестны на краю х=0,
переносится на край х=1.
2.7. Модификация метода С.К. Годунова
Решение в методе С.К. Годунова ищется, как это записано выше, в
виде формулы
(x) (x) (x)  Y Y c Y матрица .
21
Можем записать эту формулу в двух вариантах – в одном случае
формула удовлетворяет краевым условиям левого края (индекс L), а в
другом – условиям на правом крае (индекс R):
(x) (x) L (x)
L
 Y  Y c Y L матрица L ,
(x) (x) R (x)
R
 Y  Y c Y R матрица R .
В произвольной точке имеем
(x) (x) L R Y Y  .
Тогда получаем
(x) (x) (x) R (x)
R
L
L
  Y c Y  Y c Y матрица L матрица R ,
(x) (x) R (x) L (x)
L R
  Y c Y c  Y Y матрица L матрица R ,
(x) (x) R (x) L (x)
L R
   Y Y
c
c
Y Y
R
L
матрица матрица .
То есть получена система линейных алгебраических уравнений
традиционного вида с квадратной матрицей коэффициентов
(x) (x)
матрица L матрица R Y Y
для встречного вычисления векторов констант
R
L
c
c
.
22
Глава 3. Метод «переноса краевых условий» (прямой
вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими
обыкновенными дифференциальными уравнениями
Предлагается выполнять интегрирование по формулам теории
матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала
интегрирования к краям:
(0)  K(0x) (x)  (0x)  Y Y Y ,
(1)  K(1x) (x)  (1x)  Y Y Y .
Подставим формулу для )0( Y в краевые условия левого края и
получим:
u Y  ) 0( U ,
 Y Y   u  U[K(0 x) (x) (0 x)] ,
UK(0x) (x)  U (0x)  Y u - Y .
Аналогично для правых краевых условий получаем:
v Y  ) 1( V ,
 Y Y   v  V[K(1 x) (x) (1 x)] ,
VK(1x) (x)  V (1x)  Y v Y .
То есть получаем два матричных уравнения краевых условий,
перенесенные в рассматриваемую точку x :
[UK(0x)] (x)  U (0x)  Y u - Y ,
[VK(1x)] (x)  V (1x)  Y v Y .
Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных
алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для
нахождения решения ) (x Y в любой рассматриваемой точке x :
(1 )
(0 )
( )
(1 )
(0 )
V x
U x
x
VK x
UK x&

Дополнительная информация / источник: www.vinogradov-design.narod.ru/math.html


Copyright © MirZnanii.com 2015-2018. All rigths reserved.