Интерактивные графические системы (стр. 3 из 4)
Соответственно для каждого объекта вводится своя правая прямоугольная система координат XYZ.
Экранная система координат - система координат X1Y1Z наблюдательной системы. Данная система координат выбирается левой.
По аналогии c физическими устройствами ось z соответствует главному лучу объектива, плоскость xy - задней фокальной плоскости, а центр проекции F располагается на оси OZ в точке (0,0,f) и сопоставляют с задней главной точкой объектива.
Модель приемника света
Так как исходной позицией для трассировки луча является центр рецептора, то алгоритм начинает работу с определения пространственного расположения всех рецепторов .
В плоскости xoy экранной системы располагается матрица точечных приемников, где c¢ и d¢ шаг сетки рецепторов по оси x и y. Координаты рецептора (xij, yij,0) могут быть вычислены на основании его индексов:
xij = c¢(j- J/2 -1/2)
yij = d¢(I/2-i+1/2), где I,J - максимальное значение соответствующих индексов
Преобразование координат из экранной системы в объектную
xyz®XYZ
[X,Y,Z,1]=[x,y,z,1] M¢
M¢ - матрица порядка 4, являющееся обратной матрице M, связывающей объектную правую и экранную левую системы.
Модель объекта
Примитивы
В методе обратной трассировки лучей трехмерные объекты выгодно представлять в виде отдельных строительных блоков, поверхности которых можно описать кривыми первого и второго порядка.
Определение: Функциональным объемом называется некоторая часть пространства (не обязательно конечная), охватываемая поверхностью одной функции. Принадлежащим телу объекта считается подпространство, выделяемое поверхностью f (x,y,z)=0 в любой точке которого, значение скалярного поля f (x,y,z)>0. Такое подпространство именуется положительным.
Определение: Объемный примитив - конечный участок пространства, ограниченный одной или несколькими функциональными поверхностями.
Определение: Плоский примитив - часть плоскости, ограниченная замкнутой линией, состоящей из конечного числа прямолинейных или криволинейных участков.
К структуре примитива относятся неизменное количество ограничивающих его поверхностей и вид функций, описывающих эти поверхности. Изменение формы примитива может достигаться варьированием параметров функций.
Пространственные комбинации примитивов
Из комбинаций примитивов образуются более сложные примитивы, называемые строительными блоками. Над примитивами определены следующие пространственные комбинации:
- объединения
- пересечения
- исключения
Формализованная модель объекта
Любой пространственный объект, образованный комбинацией примитивов может быть описан древовидной структурой, корнем которого является сам объект, вершинами - примитивы, а в узлах ветвей помещаются операции пространственных комбинаций.
Взаимное положение объекта
Взаимное положение характеризуется через функции принадлежности j(x,y,z;Ф),
где x,y,z - координаты точки, Ф - обозначение примитива, объекта или фигуры. Соответственно функция:
Пусть примитив Ф состоит из k уравнений
, тогда 
Определение видимых и затененных точек
Для определения освещенности изображения устанавливается видимость для каждого рецептора, ориентация нормали для видимых точек, их отражательную способность и т.д.
Пересечение светового луча с примитивом
Пусть примитив d-ый содержит Kd поверхностей, которые организованны по правилу положительности внутренней области, тогда для определения всех точек пересечения прямой, исходящей из ij рецептора через центр проекции F и d-ого примитива необходимо решить Kd систему уравнений следующего вида:
Для каждой из таких систем возможны 3 случая:
- система не имеет решений
- одно или больше количество пересечений (счетное число пересечений)
- бесконечное число пересечений (если луч лежит на поверхности)
Все точки решения принадлежат поверхности примитива.
Точка, принадлежащая некоторой поверхности, входящей в описание примитива, принадлежит поверхности примитива, если для всех остальных поверхностей точка находится в неотрицательной части поверхности.
Возможен случай, когда исследуемый луч проходит через границу смежных объектов примитива. Для разрешения этой проблемы отбираются две точки фактического перемещения луча и выпуклого примитива. Из всех возможных претендентов выбираются ближайшая и самая удаленная точки. В общем случае должны выполнятся условия:
1) (X1-XF)2 + (Y1-YF)2 + (Z1-ZF)2 £ (XB-XF)2 + (YB-YF)2 + (ZB-ZF)2
2) (X2-XF)2 + (Y2-YF)2 + (Z2-ZF)2 ³ (XB-XF)2 + (YB-YF)2 + (ZB-ZF)2 ,
где (X1, Y1, Z1) - ближайшая точка
(X2, Y2, Z2) - самая удаленная точка
B - текущий номер точки действительного пересечения луча с примитивом.
Информация о пересечении луча с d-м примитивом представляется в виде матрицы координат точек пересечения:
и матрицы номеров поверхностей, которым принадлежат точки X1Y1Z1 и X2Y2Z2 :
Алгоритм определения точек пересечения прямой и примитива
1. Устанавливаем kd=1
( k - номер обрабатываемой поверхности в примитиве d)
Устанавливаем FLAG=0
(индикатор отсутствия (0) или наличия (1) решений)
2. Решается система (*)
3. Если решений нет, то увеличиваем kd на 1 (до тех пор, пока kd £ Kd ) и возврат на шаг 2.
4. Если решения есть (в общем случае
решений), то устанавливаем 
(где 
- номер текущего решения поверхности под номером kd)5. Для всех Kd поверхностей, кроме kd проверяют условие :
(где r - текущий номер поверхности в d-ом примитиве)6. Если условие не выполняется, то увеличиваем
на 1 (пока 
) и возврат на шаг 5.7. Если условие 5 выполнено и FLAG=0, то точка
размещается в две первые строки матрицы d, а в две первые строки матрицы WHO заносится номер kd.8. Если условие 5 выполнено и FLAG=1, то
(**) точка
ближе к точке (XF, YF, ZF), чем точка, находящаяся в первой строке матрицы T.(***) точка
дальше от точки (XF, YF, ZF), чем точка, находящаяся во второй строке матрицы T. 
9. FLAG=1, увеличиваем kd на 1 (пока kd £ Kd) и возврат на шаг 2.
Пересечение луча с комбинацией примитива.
Когда задача определения точек пересечения луча с примитивами решена, в полученной совокупности необходимо выделить точку, ближайшую к наблюдателю, т. е. видимую. Для этого все матрицы WHO и матрица Т для каждого из примитивов сводятся в единые блочные матрицы WHO и Т.
Матрица Т переформируется таким образом, чтобы в её первой строке помещалась точка, ближайшая к источнику луча, порядок остальных точек может быть произвольным. Синхронно сортируется матрица WHO для того, чтобы не терялась связь между точкой и конкретной поверхностью. Когда таким образом выделена ближайшая точка (XБ, YБ , ZБ) следует проверить её принадлежность к поверхности объекта. Для этого оценивается положение точки относительно каждого из примитива объекта. Положение точки и каждого примитива определяется функцией принадлежности, а относительно положения точки (XБ, YБ , ZБ) и объекта О = f ( П1, . . , ПD ), устанавливается путём попарной проверки функции принадлежности j (XБ, YБ , ZБ, ПD ) и функции d = 1(1)D ( d = 1. . D
Пример:
O = ( П1 ï П2 ) ï П3
Световой луч пересекает объект в точках с 1 по 6, ближайшей к источнику луча является точка 1. Функция принадлежности этой точки:
j ( X1, Y1, Z1, П1 ) = -1
j ( X1, Y1, Z1, П2 ) = 0