Формирование инвестиционного портфеля (стр. 2 из 6)
3.2 Условия оптимальности в задаче (3.2)
Условия оптимальности в задаче (3.2) представляют собой формулировкуусловий Куна-Таккера для этой задачи. Будем рассматривать следующую формузаписи условий Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования:
 | (3.2.1) |
В нашем случае получим:
 | (3.2.2) |
Здесь Ai- столбцы матрицы A длины m, Di столбцы матрицы D длины n,Lk - строки матрицы A длины n, ej - n-мерные столбцы единичной матрицы. Здесьи далее xi - компоненты оптимального вектора задачиx, lk и Dk- множителиЛагранжа условий Куна-Таккера. Запишем систему 3.2.2 в более обобщенной форме:
 | (3.2.3) |
где составные столбцы P0, ... Pm+2n каждый длиной m+n являютсястолбцами блочной матрицы P, имеющей следующий вид:
 | (3.2.4) |
В таком виде условия Куна-Таккера (3.2.3) можно записать в еще болеепростом виде:
 | (3.2.5) |
Поскольку рассматриваемая нами задача является задачей выпуклогопрограммирования, указанные условия существования минимума являютсяодновременно необходимыми и достаточными. Доказательство указанных условийможно найти в [1,2].
3.3. Базис задачи квадратичного программирования. Оптимальный и невырожденный базисы.
Поскольку ранг матрицы A равен m (см 3.1), система векторов
являютсялинейно независимой системой векторов. В то же время, легко видно, что линейнаяоболочка, натянутая на систему векторов P совпадает с пространством Em+n,т.е L(P)=En+m.
Следовательно из системы векторов 3.2.4 можно образоватьконечное число базисов N евклидова пространства En+m,содержащих в себе векторыP1, .. Pm. Такие базисы пространства En+m будем называть базисами задачиквадратичного программирования, и обозначать следующим образом:
 | (3.3.1) |
Для упрощения схемы алгоритма, запишем базис (3.3.1) в следующем виде:
 | (3.3.2) |
Здесь Á1 и Á2 - наборы индексов. В случае, если Á1=Á2 будем считатьбазис UÁ1,Á2порожденным одним множеством индексов Á=Á1.
 | (3.3.3) |
Коэффициенты разложения вектора b по базису UÁ1,Á2 будем называть базиснымипеременными, остальные коэффициенты - небазисными переменными.
Базис UÁ1,Á2 назовем оптимальным, если его базисные переменные удовлетворяют условиям Куна-Таккера (3.2.3).
Базис называется невырожденным, если все его базисные переменные, соответствующие компонентам вектора x отличны от нуля, т.е.
 | (3.3.4) |
Задачу (3.1.2) будем называть невырожденной, если все ее базисы невырождены. В противном случае назовем задачу вырожденной.
3.4. Метод субоптимизации на многообразиях. Выпуклый случай.
Для решения задачи (3.1.2) предлагается использовать метод
субоптимизации на многообразиях. Вначале рассмотрим основные идеи, приводящие к методу субоптимизации в случае задачи выпуклого программирования общего вида.
Рассмотрим задачу выпуклого программирования с линейными ограничениями, состоящую в минимизации выпуклой функции f(x) на множестве L, задаваемом ограничениями типа равенств.
 | (3.4.1) |
Предположим, что задача имеет единственное решение, т.е минимум целевой функции достигается в единственной оптимальной точке x*. В этом случае задаче (3.4.1) эквивалентна задача:
 | (3.4.2) |
Эквивалентность этих двух задач является следствием единственности решения. Переход к задаче (3.4.2) называется выделением активных ограничений, т.е. вместо условия неотрицательности всех переменных, мы переходим к условию равенства нулю всех компонент, решения, индексы которых не принадлежат множеству Á(x*).
Предположим, что для задачи (3.4.2) нахождение оптимального решения существенно проще, чем для исходной задачи (3.4.1). В этом случае, перебирая каким-либо образом всевозможные множества индексов Ák, являющиеся подмножествами полного набора индексов {1,..n}, и решая для каждого из них задачу (3.4.2), используя Ák вместо Á*, определить искомое множество индексов Á*.
Предположим также, что задача (3.4.2) обладает свойством
единственности, т.е система векторов {L1, .. Lm, ej (jÎÁ(x*)}- линейно независима. В случае нарушения свойства единственности задача поиска оптимального вектора задачи (3.4.2) усложняется, и в дальнейшем этот случай рассматриваться не будет.
Алгоритм перебора множеств индексов Ák основан на следующей лемме.
Основная лемма:
Пусть x*является оптимальной точкой задачи:
 | (3.4.3) |
где XÁ - линейное многообразие, определяемое следующим образом:
 | (3.4.4) |
Предположим, что задача (3.4.3) с условием (3.4.4) обладает свойствомединственности, и среди Dj, удовлетворяющих условиям Куна-Таккера существуетотрицательное Dj0, т.е.
 | (3.4.5) |
Пусть Á ' - множество индексов, полученное из Á вычитанием индекса j0:
 | (3.4.6) |
Тогда, если x*' - оптимальный вектор задачи
 | (3.4.7) |
то справедливо неравенство:
| f(x*')<f(x*) | (3.4.8) |
Доказательство.
Так как в силу выполнения соотношения (3.4.6) и определения множеств XÁ и XÁ'вытекает, что XÁ'É XÁ то имеет место неравенство f(x*') £ f(x*). Следовательно длядоказательства соотношения (3.4.8) достаточно показать, что f(x*') ¹ f(x*).
Предположим, что это не так. Тогда точка x* являетсяоптимальной длязадач (3.4.3) и (3.4.7), и удовлетворяет условиям Куна-Таккера в обоих задачах:
 | (3.4.9) |
 | (3.4.10) |
Добавим в правую часть равенства (3.4.10) член 0ej0. Поскольку, по предположению (3.4.5) леммы коэффициент Dj0 отличен от нуля, получаем разложение вектора градиента функции f по системе векторов {L1, .. Lm, ej (jÎÁ(x*)}. Получаем противоречие с условием единственности, а стало быть, и с условием основной леммы.