Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена (стр. 2 из 3)

Если потребовать, чтобы заменяющая функцию f(x) вблизи точки

аффинная модель имела в этой точке одинаковую с ней производную, то, дифференцируя, получаем значение коэффициента , подстановка которого в приводит к известному методу Ньютона. Если же исходить из того, что наряду с равенством должно иметь место совпадение функций f(x) и в предшествующей точке т.е. из равенства , , получаем коэффициент , превращающий в известную формулу секущих.

Равенство

, переписанное в виде , называют соотношением секущих в Оно легко обобщается на n -мерный случай и лежит в основе вывода метода Бройдена. Опишем этот вывод.

В n-мерном векторном пространстве

соотношение секущих представляется равенством

,

где

- известные n-мерные векторы, - данное нелинейное отображение, а - некоторая матрица линейного преобразования в . С обозначениями , соотношение секущих в обретает более короткую запись . Аналогично одномерному случаю, а именно, по аналогии с формулой , будем искать приближения к решению векторного уравнения по формуле . Обратимую n x n-матрицу в ней нужно подобрать так, чтобы она удовлетворяла соотношению секущих . Но это соотношение не определяет однозначно матрицу : глядя на равенство , легко понять, что при n>1 существует множество матриц , преобразующих заданный n-мерный вектор в другой заданный вектор (отсюда - ясность в понимании того, что могут быть различные обобщения одномерного метода секущих).

При формировании матрицы

будем рассуждать следующим образом. Переходя от имеющейся в точке аффинной модели функции F(x) к такой же модели в точке мы не имеем о матрице линейного преобразования никаких сведений, кроме соотношения секущих . Поэтому исходим из того, что при этом переходе изменения в модели должны быть минимальными. Эти изменения характеризует разность . Вычтем из равенства определяющее равенство и преобразуем результат, привлекая соотношение секущих . Имеем:

Представим вектор

в виде линейной комбинации фиксированного вектора определенного в , и некоторого вектора t, ему ортогонального: ,

Подстановкой этого представления вектора

в разность получаем другой ее вид

Анализируя выражение

, замечаем, что первое слагаемое в нем не может быть изменено, поскольку - фиксированный вектор при фиксированном k. Поэтому минимальному изменению аффинной модели будет отвечать случай, когда второе слагаемое в будет нуль-вектором при всяких векторах t, ортогональных векторам , т.е. следует находить из условия

Непосредственной проверкой убеждаемся, что условие

будет выполнено, если матричную поправку взять в виде одноранговой nхn-матрицы .

Таким образом, приходим к так называемой формуле пересчета С. Бройдена

2. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ И ИСЛЕДОВВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТА ЕЕ РАБОТЫ

Задача. Разработать программу, реализующую метод Бройдена.

Структура программы. Программа была разработана в интегрированной среде разработке приложений Microsoft Visual Studio 2008 на языке программирования C#, проект программы Console Application. В ходные данные программы начальный вектор решения, начальная матрица Якоби и удовлетворяющая погрешность. Программа решает систему уравнений

. Если программа не находит решения удовлетворяющего требуемой точности за 10 итераций, то поиск решения прекращается, а так же если процесс расходится (в соответствии с приложением А).

Введем матрицу Якоби

, погрешность 0,3 начальное решение является точным решение. На 1 итерации получаем результат решения (рисунок 1).

Рисунок 1 – Первый пример работы программы

Результат точное решение на 1 шаге. Попробуем задать начальное решение отличное от точного (рисунок 2).