Динамическое программирование и вариационное исчисление (стр. 2 из 3)

Как было показано ранее, математическая формулировка динамических задач оптимального управления сводится к следующему. Имеется объект управления, состояние которого характеризуется многомерной переменной х={х1,…,xn}. Характер процессов в объекте управления можно изменять, используя то или иное упвление u из пространства допустимых правлений U. В общем случае управление u

U может быть также многомерной величиной u={u1,...,um}. Характер движения объекта управления описывается системой дифференциальных уравнений х=g (х, u), х (0)=с.

За критерий качества управления принимается интегральная оценка вида

J(u)=

,имеющая физический смысл потерь, где Т- время протекания процесса управления, aQ[x(t), u(t)]=q(t) - мгновенные потери в момент t при состоянии системы x(t) и управлении u(t). Добавочными ограничениями могут быть ограничения, накладываемые на количество ресурсов или пределы изменения некоторых параметров, выражающиеся математически соотношением

.

Как было установлено ранее, оптимальным называется такое управление u* из множества допустимых управлений U, при котором для объекта, описываемого дифференциальным уравнением, и заданных ограничениях на используемые ресурсы критерий качества управления принимает минимальное (максимальное) значение.

Сформулированная подобным образом задача оптимального управления относится к классу вариационных задач, решением которых занимается раздел математики, получивший название вариационного исчисления. Величина J(u) получила название функционала. В отличие от функции, например, f(x), численные значения которой задаются на множестве значений аргумента х, численные значения функционала J(u) задаются на множестве всевозможных управлений u(t). Задача нахождения оптимального управления сводится к тому, чтобы из множества допустимых управлений U выбрать такое, при котором функционал J(t) принимает минимальное численное значение.

2.2. Постановка вариационной задачи

Обычно задачи, требующие минимизации функционала, подчиненного дифференциальному соотношению, при наличии интегрального ограничения заменяются минимизацией нового функционала

J(u)=

+ λ ,

подчиненного только дифференциальному соотношению. Параметр λ, в функционале, получивший название множителя Лагранжа, в задачах оптимизации управления играет роль «цены» ограниченных ресурсов. Его значение находится из граничных условий вариационной задачи.

Возможность упрощения вариационной задачи с интегральными ограничениями посредством введения множителей Лагранжа вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1. Если u(t)-оптимальное управление, при котором функционал J(u)=

+λ достигает абсолютного минимума и выполняется ограничение , тогда при u(t) достигается абсолютный минимум функционала J(u)= , подчиненного ограничению .

Доказательство: следует от противного. Пусть v(t)-другое управление, отличное от u(t), причем такое, что

<

и выполнено условие

.

Тогда

+λ ≤ +λK< +λK=

=

+λ , что противоречит предположению, что u(t) обращает J(u)= +λ в минимум.

Важнейшим понятием вариационного исчисления является понятие вариации функции, которое при исследовании функционалов играет такую же роль, как дифференциал при исследовании функций.

Пусть f(x) – функция, непрерывная на интервале [a,b]. Рассмотрим внутреннюю точку х этого интервала и некоторое фиксированное значение дифференциала аргумента функции ∆x=dx. Разность f(x+∆x)-f(x)=df(x)=f(x)∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке х. Как известно, условие df(x)=0 является необходимым условием минимума (максимума) функции f(x) в точке х.

Получим аналогичные соотношения в вариационноми исчислении.

Рассмотрим задачу с закреплёнными концами при фиксированном времени.

Пусть задана некоторая целевая функция

J=

-min, при условиях x(t0)=x0 , x(tf)=xf , t [t0,tf], x(t) Rn, причём x(t) непрерывна, и дифференцируема.

Пусть у нас имеется оптимальное решение x(t)=x*(t).

Проведём сдвиг от этого решения: выберем произвольную функцию η(t), такую, что η(t0)=η(tf)=0, η(t)

Rn ,причём η(t) непрерывна, и дифференцируема.

Тогда наше решение запишется как

x(t)=x*(t)+εη(t) и соответственно x(t)=x*(t)+εη(t), где ε=[ε1,…,εn]T , ε

Rn, εi=const.

Таким образов выражение εη(t) есть не что иное, как ∆x для функции f(x), εη(t) называется вариацией функционала.

При фиксированных x(t) и η(t), наша целевая функция буде функцией от ε:

J(ε)=

-min,

Решение этого уравнение известно, т.к. это будет достигаться при ε=0,x(t)=x*(t).

Разложим функцию J(ε) в ряд Тейлора в точке ε=0n:

J(ε)=J(0n)+

J(ε)ε + 2J(ε)ε2 + o(∆x).

Необходимое условие минимума J(ε)-J(0n) ≥0, тогда получим

J(ε)-J(0n)=

J(ε)ε + 2J(ε)ε2 + o(∆x) ≥0.

Для того, чтобы неравенство выполнялось первое слагаемое должно равняттся нулю (т.к. оно может принимать как положительные, так и отрицательные значения):

J(ε)=δJ=0 – I необходимое условие экстремума функционала.

Если это условие выполняется, то получим

J(ε)-J(0n)=

2J(ε)ε2 + o(∆x) ≥0,

отбросим члены малости больше 2.

2J(ε)= δ2 J ( ≥ 0, ≤ 0)

– второе необходимое условие экстремума функционала.

В вариационном исчислении условие δJ=0 используется для получения так называемого дифференциального уравнения Эйлера, среди множества решений которого и определяется затем управление u(t), обращающее в минимум функционал.

Применим выше изложенные рассуждения для вывода дифференциального уравнения Эйлера.

Воспользуемся I необходимое условие экстремума функционала

J(ε)=δJ=0.

δJ=

J(ε)= = =

=

= + =| 2-й интеграл по частям |=

=

+ – = ≡ 0.