Технология сборки и испытания летательных аппаратов (стр. 2 из 5)
Уравнение регрессии тогда запишется в виде:
i ij
г = βo + Σ βixi + Σijxixj
(1.2)
В результате экспериментов нельзя абсолютно точно определить значения теоретических коэффициентов регрессии βo; βi;βij, можно лишь вычислить значения выборочных коэффициентов βo; βi;βij, связанных с теоретическими соотношениями:
βi = βi ± ΣS
βij = βij ± ΣS
βo = βo ± Σβii + Σβiii …ΣS
(1.3)
где ΣS – ошибка, связанная с наличием неучтенных факторов и погрешностью метода.
Таким образом, уравнение регрессии, полученное на основании эксперимента, имеет вид:
ŷ =bo + Σbixibijxixj
(1.4)
Для трех выбранных факторов, в соответствии с формулой (1.4) уравнение регрессии принимает вид:
ŷ = bo +b1x1 + b2x2 +b3x3 +b12x1x2 +b13x1x3 + b23x23 +b123x1x2x3
(1.5)
Здесьx1x2 – значения факторов, bo – свободный член, равный выходу при нулевых условиях (то есть при х = 0), b1;b2 – коэффициенты регрессии соответствующих факторов, указывающие на влияние того или иного фактора на изучаемый процесс; b123 - коэффициент регрессии при произведении факторов, свидетельствующий о наличии взаимодействия между факторами.
Реально действующие факторы заменим на формализованные. С этой целью фактор WΣ (энергия светового импульса) обозначим х1; фактор 2r (диаметр сферы жидкого катализатора) – через х2 ; фактор Пк (поглощающая способность капли) – через х3 .
Выходные величины – факторы, участвующие в эксперименте, не подвергались конфлюэнтному анализу, так как параметр х1 мог задаваться с точностью +-0,5% (указанная величина соответствует точности задания энергии светового импульса по техническому паспорту на лазер ЛТИ-ПЧ и экспериментальной проверке указанных данных); параметра х2 - с точностью 0,1% (что соответствует точности задания диаметра капли промывочной жидкости); параметр х3 – с точностью 0,01‰ (соответствует точностям определения и поглощающим способностям капли). Кроме этого они совместимы в любых сочетаниях, между ними отсутствует корреляция. Они однозначны и управляемы, то есть выполняются все необходимые и достаточные требования математической корректности к принятой совокупности факторов.
Для каждого из выбранных факторов устанавливается условный нулевой уровень 0xi, назначаемый на основании опытных или теоретических данных, а при отсутствии таковых – произвольно. Для тех же факторов выбираются единицы варьирования λi, на которые меняются условия по каждому фактору в сторону уменьшения или увеличения его от нулевого уровня.
Выбор единиц варьирования является весьма ответственным этапом, так как при слишком малых единицах варьирования каких либо факторов может оказаться, что эффект от их действия незначим не потому, что они не оказывают влияния на процесс, а потому, что этот эффект ниже ошибки метода измерения выхода. С другой стороны, при слишком больших единицах варьирования может оказаться, что исследуемая поверхность отклика не может быть описана уравнением, не содержащим членов высших степеней.
Выбор параметров 0xi и λi для указанных трех факторов основывается на том, что для первого фактора (WΣ) минимальное значение параметра световой энергии составляет 0,1 мВт, что близко к нижнему порогу световой накачки для применяемого лазера ЛТИ-ПУ, а максимальное значение – 0,3 мВт, что соответствует верхнему порогу световой накачки. Для второго фактора (2r) минимальное значение диаметра капли промывочной жидкости условно было выбрано 0,2 мкм, а максимальное – равным 0,6 мкм, что соответствует условию отрыва капли от патрубка и всплытию ее на поверхность жидкой среды.
Для третьего фактора (Пк) минимальное значение коэффициента преломления выбрано равным 2%, максимальное – равным 5%, что близко к значениям, указанным в справочниках на физические параметры очищающей жидкости.
Составим матрицу планирования, исходя из того, чтобы в данном эксперименте были исчерпаны все возможные комбинации варьируемых факторов на верхнем и нижнем уровнях. Необходимое число вариантов Nв = 2i.
где i – количество исследуемых факторов.
В рассматриваемом случае Nв = 23 = 8. Для оценки значимости коэффициентов регрессии будем производить каждый опыт три раза (Кn = 3).
Тогда матрица планирования будет иметь вид: Таблица 1.
| Фактор | 0 х i | i | + I | - I | Размерность |
| W (X1) | 0.200 | 0.100 | 0.300 | 0.100 | Джоули |
| 2r (X2) | 0.1 | 0.4 | 0.2 | 0.2 | мм |
| Пк (Х3) | 5 | 3 | 8 | 2 | % |
Таблица 2.
| № - | Планирование | Расчет | Выход (мм) Н | |||||||||
| варианта | Х0 | Х1 | X2 | X3 | X1X2 | X1X3 | X2X3 | X1X2X3 | Уn I | Уn II | Уn III |  Уn |
| 1 | + | - | - | - | + | + | + | - | ||||
| 2 | + | + | - | + | - | + | - | - | ||||
| 3 | + | - | - | + | + | - | - | + | ||||
| 4 | + | + | - | - | - | - | + | + | ||||
| 5 | + | - | + | + | - | - | + | - | ||||
| 6 | + | + | + | - | + | - | - | - | ||||
| 7 | + | - | + | - | - | + | - | + | ||||
| 8 | + | - | + | + | + | + | + | + | ||||
| Коэффи-циент регрессии | b0 | b1 | b2 | b3 | b12 | b13 | b23 | b123 | -- | -- | -- | 88.14 |
| 11.01 | 3.18 | 2.02 | -0.18 | -0.05 | -0.04 | -0.57 | -0.057 | -- | -- | -- |  Σ Уn | |
Кроме указанных экспериментов для последующей оценки линейности уравнения регрессии был 4 раза определен выход на нулевом уровне. Значения уо составили: 10,65; 10,82; 10,95 и 10,72, откуда среднее значение выхода уо = 10,78Рассчитываем коэффициент регрессии:
Таблица 3.
1 Nb __  b = ∑ УN ХоNb No | bo = 11.01 |
| 1 Nb __ b = ∑ УNХiNb No | b1 = 3.18b2 = 2.02b3 = - 0.18 |
| 1 Nb __ b = ∑ УNХjNb No | b12 = - 0.05b13 = - 0.04b23 = - 0.057b123 = - 0.075 |
Уравнение регрессии тогда примет вид:
У = 11,01 + 3,18х1 + 2,02х2 – 0,18х3 – 0,05x12 – 0.04x13 – 0.057x23 – 0.075x123
(1.6)
Это уравнение может являться математической моделью процесса, однако, прежде необходимо определить значимость входящих в него коэффициентов регрессии.
С этой целью необходимо найти выборочную дисперсию. Для этого вычисляются:
1) построчная дисперсия
∑(yN– yNk)2 
S2(yNk) =k – 1
S12(yNk) = 0.0043
S22(yNk) = 0.0072
S32(yNk) = 0.01
S42(yNk) = 0.0016
S52(yNk) = 0.0046
S62(yNk) = 0.0109
S72(yNk) = 0.0092
S82(yNk) = 0.0156
2) дисперсия воспроизводимости:
∑ S2 ( yNk)
S2(y) = = 0,0634 / 8 = 0,0079Nb
(1.8)
3) дисперсия среднего значения:
∑ S2 ( yNk)
S2(y) = = 0.0079 / 3 = 0,0026kn (1.9)
4) дисперсия коэффициентов регрессии:
∑ S2 ( yNk)
S2(y) = = 0,0026 / 8 = 0,0003Nb
(1.10)
по которой находится ошибка коэффициентов регрессии:
S (bi) = √S2 (bi) = 0.017
Для оценки значимости коэффициентов регрессии составим неравенство:
Bi > S (bi) tp (f)
(1.11)
где S (bi) – ошибка коэффициента регрессии, а
tp (f) – коэффициент Стьюдента, находимый по таблицам для требуемой достоверности и числа степеней свободы f, с которыми были определены коэффициенты регрессии. Для рассматриваемой задачи f = 8 * 2 = 16 и t95(16) = 2,12. Тогда S(bi)t95(16) = 0.017*1.12 = 0.36, f = Nb * (kn – 1)
Отсюда :
b0 = 11,01 > 0,36 – значимый коэффициент регрессии
b1 = 3,18 > 0,36 – значимый коэффициент регрессии
b2 = 2,02 > 0,36 – значимый коэффициент регрессии
b3 = 0,18 < 0,36 – незначимый коэффициент регрессии.
Рассматриваемый коэффициент регрессии b3 может быть незначимым по многим причинам, в частности:
- выбрана слишком маленькая единица варьирования для данного фактора, а ошибка метода велика;
- нулевой уровень по данному фактору лежит уже в оптимуме и, следовательно, изменение данного фактора на величину может не вызывать изменения выхода;
- и, наконец, данный фактора действительно не оказывает никакого влияния на процесс, так как не имеет к нему отношения.