Мир Знаний

Методы и анализ нелинейного режима работы системы ЧАП. Метод фазовой плоскости (стр. 2 из 3)

Аналогичную зависимость можно получить для системы ФАПЧ (рис.4),

Где

- расстройка между частотой входного сигнала и частотой собственных колебаний опорного генератора;

- ошибка слежения по частоте.

Не для всех систем

. Это определяется типом фильтра и дискриминатора. Для цифровых следящих систем
и называется полосой синхронизации.

Рис.4. Зависимость частотной ошибки от первоначальной частотной расстройки.

Метод фазовой плоскости

Предположим, что поведение следящей системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка

. (7)

Обозначим

х = х1;

;

. (8)

Состояние системы, описываемой уравнениями (8), определяется в каждый момент времени величинами

и
т.е. величиной координаты
и скоростью ее изменения. Это состояние системы можно отобразить точкой на плоскости с координатами
, называемой фазовой плоскостью. При изменении состояния системы изображающая точка перемещается на фазовой плоскости по кривым, которые называют фазовыми траекториями. Совокупность фазовых траекторий для различных начальных условий называют фазовым портретом.

Чтобы получить уравнение фазовых траекторий, исключим из (2) время, поделив для этого второе из них на первое:

. (9)

Его решение

. Каждой комбинации начальных условий
соответствует свое решение уравнения (3) и своя фазовая траектория.

В качестве примера рассмотрим затухающий колебательный процесс, показанный на рис.5.

Рис.5. Затухающий колебательный процесс.

Цифрами отметим характерные точки кривой и сопоставим их с фазовой траекторией. В точке 1 х

(0)
0, х
(0) =0, поэтому фазовая траектория начинается на положительной полуоси абсцисс (Рис.6). В точке 2 х
=0, х
0, поэтому эта точка расположена на отрицательной полуоси абсцисс. В точке 3 х
0, х
(0) =0, и на фазовой плоскости она расположена на отрицательной части горизонтальной оси и т.д. В результате для затухающего колебательного процесса фазовая траектория имеет вид сходящейся спирали.

Рис.6. Фазовая траектория затухающего колебательного процесса.

Для затухающего монотонного процесса (рис.7а) фазовая траектория приведена на рис.7б.

Eсли в системе возникают периодические колебания, на фазовой плоскости они отображаются в виде замкнутой кривой, называемой предельным циклом. Предельный цикл является устойчивым, если при некоторых отклонениях от него фазовая траектория вновь стремится к предельному циклу. При расхождении фазовых траекторий предельный цикл называется неустойчивым.

Построение фазовых траекторий позволяет судить о свойствах нелинейных систем по переходному процессу.

Рис.7. Апериодический процесс и его фазовая траектория.

Построение фазового портрета системы обычно начинают с определения его характера вблизи точек равновесия системы, в которых производные

. Координаты точек равновесия
определяются, как следует из (8), равенствами
,
. Точки равновесия при построении фазового портрета системы называют особыми.

Поведение фазовых траекторий вблизи особых точек зависит от характера корней

соответствующего характеристического уравнения

,

где

,
;

- отклонение от состояния равновесия.

Если

и
, то процесс
является затухающим гармоническим колебанием

, (10)

где

и
- амплитуда и начальная фаза колебания;
- его частота, равная

.

Продифференцировав выражение (10) для

по времени, получим

. (11)

Фазовая траектория, построенная по приведённым выражениям для процессов

и
, имеет вид скручивающейся спирали (см. рис.8), получившей название – устойчивый фокус.

При

и
процесс
является гармоническим колебанием с нарастающей амплитудой. Особая точка соответствует при этом неустойчивому состоянию равновесия и называется неустойчивым фокусом (см. рис.9).

При выполнении условия

корни
действительные и имеют одинаковый знак. Если они отрицательны, то особая точка является устойчивым узлом (см. рис.10). Положительным корням
соответствует особая точка типа неустойчивого узла (см. рис.11). При
корни
действительные и имеют разные знаки. Особая точка называется седлом (см. рис.12).

Рис.8. Устойчивый фокус.

Рис.9. Неустойчивый фокус.

Рис.10. Устойчивый узел.

Рис.11. Неустойчивый фокус

.

Рис.12. Особая точка типа седла.

Для построения фазового портрета необходимо определить изоклины. Изоклиной называют геометрическое место точек в котором касательные к фазовым траекториям имеют постоянный наклон.

Уравнение изоклины:

.

Для горизонтальных касательных уравнение изоклины:

;

для вертикальных:

.

Ось абсцисс является изоклиной вертикальных касательных. Для особых точек типа узла и седла существуют изоклины, совпадающие с фазовыми траекториями: (

). Они называются сепаратрисcами.