Смекни!
smekni.com

Компьютерная схемотехника (стр. 5 из 32)

Целью минимизации является получение минимальной ДНФ или КНФ, содержащей минимум членов с минимальным количеством входящих в них переменных. Для этого необходимо минимальным числом контуров охватить хотя бы один раз каждую единицу (нуль). При этом необходимо стремиться, чтобы в каждое накрытие входило как можно больше смежных единиц (нулей).

На рисунке 3.1 показаны диаграммы Вейча при числе логических переменных n=2,3,4. Для n>4 диаграммы содержатся в [18]. Если наборы переменных исходной таблицы истинности упорядочены по убыванию их десятичных эквивалентов, то следует воспользоваться диаграммами Вейча, приведенными в [5, 6]

3.12.2.1.2 Примеры минимизации ПФ с помощью диаграмм Вейча

Пример 1. Для контроля за возможной деформацией металлической конструкции из-за перегрева в ее различных критических точках установлены четыре термодатчика, обозначенные ТД1, ТД2, ТД3, ТД4. Экспериментальные исследования конструкции показали, что в процессе ее эксплуатации возможны шесть сочетаний сработавших и не сработавших датчиков. При этом деформация конструкции возникала в следующих случаях:

1) сработали ТД4, ТД3 и не сработали ТД2 и ТД1;

2) сработали ТД4, ТД3, ТД2 и ТД1;

3) сработали ТД2 и не сработали ТД4, ТД3 и ТД1;

4) сработали ТД3, ТД2 и ТД1 и не сработал ТД4;

В случаях, когда:

5) сработали ТД4, ТД3, ТД2 и не сработал ТД1;

6) сработали ТД2, ТД1 и не сработали ТД4, ТД3

деформация конструкции не возникала.

Таблица 3.5

Состояние датчиков Деформация конструкции
Сработали Не сработали
1 ТД4, ТД3 ТД2, ТД1 Возникала
2 ТД4 ... ТД1
3 ТД2 ТД4, ТД3, ТД1
4 ТД3, ТД2, ТД1 ТД4
5 ТД4, ТД3, ТД2 ТД1 Не возникала
6 ТД2, ТД1 ТД4, ТД3

По условию эксплуатации конструкции другие сочетания сработавших и не сработавших датчиков невозможны.

Необходимо спроектировать цифровое логическое устройство, включающее сигнал тревоги, если происходит срабатывание термодатчиков в опасном сочетании.

Обозначим цифровые сигналы на выходе термодатчиков логическими переменными: ТД4→D; ТД3→С; ТД2→В; ТД1→А, а логическую функцию, которую должно реализовать устройство контроля – F.

Составим таблицу истинности, отражающую требуемую логическую функцию (таблица 3.6).

Таблица 3.6

(ТД4) (ТД3) (ТД2) (ТД1)
набора D C B A F
0 0 0 0 0 -
1 0 0 0 1 -
2 0 0 1 0 1 3)
3 0 0 1 1 0 6)
4 0 1 0 0 -
5 0 1 0 1 -
6 0 1 1 0 -
7 0 1 1 1 1 4)
8 1 0 0 0 -
9 1 0 0 1 -
10 1 0 1 0 -
11 1 0 1 1 -
12 1 1 0 0 1 1)
13 1 1 0 1 -
14 1 1 1 0 0 5)
15 1 1 1 1 1 2)

Диаграмма Вейча, отражающая данную таблицу, показана на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2

Если будем производить минимизацию по единицам, то в клетки, содержащие прочерки проставим дополнительные единицы.

Основные единицы накрываем тремя контурами: 1-й контур (1I) образуют клетки первой и последней строки, 2-й (1II) - клетки 2-го столбца и 3-й (1III) - 4-го столбца.

Итоговое булево выражение минимизированной ПФ имеет вид

.(3.9)

Это выражение должно быть реализовано цифровым логическим устройством, включающим сигнал тревоги.

Рассматриваемую функцию можно минимизировать и по нулевым значениям (нулям). Для этого доопределяем клетки с номерами 1,6,9 и 11 нулями и накрываем два основных нуля двумя прямоугольниками, включающими два и четыре элемента (нуля). Первый прямоугольник (0I) охватывает клетки с номерами 6,14, второй (0II) – 1,3,11 и 9.

Итоговое булево выражение минимизированной ПФ имеет вид

.(3.10)

Оба выражения (3.9) и (3.10) эквивалентны, и применять следует то из них, которое проще реализуется на конкретном наборе логических элементов (базисе). Этот вопрос будет рассмотрен в следующих лекциях.

Пример 2. Необходимо разработать блок приоритетных прерываний от 2-х внешних устройств: ВУ1 и ВУ2. ВУ с меньшим номером соответствует более высокий приоритет. Упрощенная структура проектируемой системы показана на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3

На схеме приняты следующие сокращения: МПС – микропроцессорная система; ВУ – внешнее устройство; БПП – блок приоритетных прерываний; ВТП – вектор текущего прерывания, который с помощью логических переменных β1, β2 описывает возможные состояния МП-системы при обслуживании запросов прерываний от ВУ (таблица 3.7); РТП – регистр текущего прерывания (запоминает значения переменных β1, β2); ЗП1, ЗП2 – запросы прерываний от ВУ1, ВУ2 (описываются переменными α1, α2); ТП – требование прерывания (логическая функция F3); ВЗП – вектор запроса прерывания (отображается комбинацией значений логических функций F1 и F2 (таблица 3.8)).


Таблица 3.7

№набора β1 β2 ВТП
0 0 0 ожидание
1 0 1 обслуживается ВУ1
2 1 0 обслуживается ВУ2
3 1 1

Таблица 3.8

ВЗП F1 F2
F3 =0 или неопределено
Запрос от ВУ2 1 0
Запрос от ВУ1 0 1

МП-система периодически проверяет значение сигнала ТП (функция F3). Если ТП=0 (запрос на прерывание отсутствует), то значения функций F1, F2безразличны и МПС продолжает свою работу. Если ТП=1, то МП-система анализирует значение вектора ВЗП (комбинацию функций F1, F2) и определяет номер запроса прерывания. Так как набор переменных β1=β2=1 невозможен (таблица 3.6), то функции F1, F2, F3 в таких случаях неопределены. Таким образом, задача БПП является реализация трех логических функций F1, F2, F3, каждая из которых определяется значениями четырех логических переменных: α1, α2, β1и β2.

Составим таблицу истинности (таблица 3.9) для названных функций.

Таблица 3.9

D C B A
№ набора α1 α2 β1 β2 F3 F1 F2
0 0 0 0 0 0 - -
1 0 0 0 1 0 - -
2 0 0 1 0 0 - -
3 0 0 1 1 - - -
4 0 1 0 0 1 1 0
5 0 1 0 1 0 - -
6 0 1 1 0 0 - -
7 0 1 1 1 - - -
8 1 0 0 0 1 0 1
9 1 0 0 1 0 - -
10 1 0 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 - - -
12 1 1 0 0 1 0 1
13 1 1 0 1 0 - -
14 1 1 1 0 1 0 1
15 1 1 1 1 - - -

Представляем функции F1, F2, F3 диаграммами Вейча (рисунок 3.4)

Для F3 Для F1

Для F2

Рисунок 3.4

Булевы выражения минимизированных ПФ имеют вид:

F3=

.(3.11)

F1=

.(3.12)

F2=

.(3.13)

Полученные выражения (3.11-3.13) имеют вполне конкретное логическое толкование и при наличии определенных навыков могли быть получены без составления таблицы истинности и минимизации ПФ.

Так, если F3=1, а в противном случае F1 и F2 безразличны, то запрос от ВУ1 в виде комбинации F1=0, F2=1 поступит лишь тогда, когда α1=1. Значение α2 безразлично, так как даже при α1=α2=1 все равно α1 имеет более высокий приоритет. Если α1=0, а F3=1, то это значит, что требование прерывания вызвано запросом от ВУ2 (α2=1). При записи выражения (3.11) можно было руководствоваться следующими соображениями. F3=1 в двух случаях. Во-первых, если поступил запрос от ВУ1 (α1=1) и при этом МП-система ожидает запроса либо обслуживает прерывание от ВУ2 (в обоих случаях β2=0, см. таблицу 3.8). Во вторых, если поступил запрос от ВУ2 (α2=1) и при этом МП-сиcтема находится в состоянии ожидания (β1=β2=0). Сказанное соответствует двум составляющим выражения (3.11).