Устойчивость линейной системы авторегулирования (стр. 3 из 5)

Рис.8

Исследование устойчивости для удобства сравнения проводится на трех моделях, отличающихся структурой или параметрами.

2.Оптимальные линейные САР

Задача оптимального синтеза линейной системы авторегулирования при случайных воздействиях заключается в определении такой структуры и параметров системы, при которых ошибки минимальны. Это так называемая задача оптимальной линейной фильтрации. Она была решена Колмогоровым, Винером, Калманом. В постановке Винера и Колмогорова входные процессы задаются их энергетическими спектрами. Для САР входными процессами являются задающее x_з(t) и возмущающее x_в(t) воздействия с энергетическими спектрами S_xз(w) и S_xв(w). Оптимальная частотная характеристика без учета физической реализуемости системы имеет вид:

К_опт(jw) = S_xз(w)/[S_xз(w) + S_xв(w)].

Объясняется такая форма частотной характеристики просто. В области частот, где S_xв(w) = 0 АЧХ замкнутой системы равна 1, что и требуется для безошибочного слежения. В области частот, занятых спектром возмущающего воздействия, коэффициент передачи должен быть тем меньше, чем больше интенсивность помехи.

Неудобство данного подхода для синтеза САР заключается в том, что определяется только частотная характеристика замкнутой системы, а структура системы неочевидна. В этом отношении удобнее подход Калмана, определяющий структуру оптимальной системы. В отличие от предыдущего подхода, описывающего задающее воздействие энергетическим спектром, в подходе Калмана задающее воздействие образуется пропусканием белого шума через формирующий фильтр, который строится как устройство с обратной связью. Формирующий фильтр описывается векторным дифференциальным уравнением, которое называется уравнением состояния:

dX_з(t)/dt= AX_з(t) + Bn(t),

где n(t) – белый шум,

X_з(t) – вектор-столбец переменных состояния, которыми обычно являются сам процесс x_з(t) и его производные,

А – матрица системы,

В – матрица управления.

Для формирования задающего воздействия к уравнению состояния добавляется уравнение наблюдения:

x_з(t) = CX_з(t),

где С – матрица наблюдения, устанавливающая связь процесса x_з(t) с вектором переменных состояния X_з(t).