Мир Знаний

Устойчивость линейной системы авторегулирования (стр. 3 из 5)

Рис.8


Исследование устойчивости для удобства сравнения проводится на трех моделях, отличающихся структурой или параметрами.

2.Оптимальные линейные САР

Задача оптимального синтеза линейной системы авторегулирования при случайных воздействиях заключается в определении такой структуры и параметров системы, при которых ошибки минимальны. Это так называемая задача оптимальной линейной фильтрации. Она была решена Колмогоровым, Винером, Калманом. В постановке Винера и Колмогорова входные процессы задаются их энергетическими спектрами. Для САР входными процессами являются задающее xз(t) и возмущающее xв(t) воздействия с энергетическими спектрами Sxз(w) и Sxв(w). Оптимальная частотная характеристика без учета физической реализуемости системы имеет вид:

Копт(jw) = Sxз(w)/[Sxз(w) + Sxв(w)].

Объясняется такая форма частотной характеристики просто. В области частот, где Sxв(w) = 0 АЧХ замкнутой системы равна 1, что и требуется для безошибочного слежения. В области частот, занятых спектром возмущающего воздействия, коэффициент передачи должен быть тем меньше, чем больше интенсивность помехи.

Неудобство данного подхода для синтеза САР заключается в том, что определяется только частотная характеристика замкнутой системы, а структура системы неочевидна. В этом отношении удобнее подход Калмана, определяющий структуру оптимальной системы. В отличие от предыдущего подхода, описывающего задающее воздействие энергетическим спектром, в подходе Калмана задающее воздействие образуется пропусканием белого шума через формирующий фильтр, который строится как устройство с обратной связью. Формирующий фильтр описывается векторным дифференциальным уравнением, которое называется уравнением состояния:

dXз(t)/dt= AXз(t) + Bn(t),

где n(t) – белый шум,

Xз(t) – вектор-столбец переменных состояния, которыми обычно являются сам процесс xз(t) и его производные,

А – матрица системы,

В – матрица управления.

Для формирования задающего воздействия к уравнению состояния добавляется уравнение наблюдения:

xз(t) = CXз(t),

где С – матрица наблюдения, устанавливающая связь процесса xз(t) с вектором переменных состояния Xз(t).

Рис. 9

По этим уравнениям построена модель, представленная на рис. 9. Сформированное таким образом задающее воздействие поступает на вход САР вместе с возмущающим воздействием, которое считается белым шумом. Доказано, что оптимальный фильтр Калмана повторяет структуру формирующего фильтра с точностью до матричного коэффициента передачи К(рис. 10).Элементы матрицы К и определяют оптимальность системы.

Рис. 10

Проиллюстрируем сказанное на примере системы первого порядка. Пусть в качестве формирующего фильтра используется интегрирующая цепь с постоянной времени Тф. Ее передаточная функция: Кф(р) = 1/(1 + рТф). Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение в операторной форме:

(рТф + 1)xp(t) = n(t).

В обычной форме оно записывается так:

.

Отсюда

.

Модель, построенная по этому уравнению, изображена на рис. 31


Рис. 11

Оптимальная система представлена на рис. 12.