Импульсные и цифровые системы авторегулирования (стр. 2 из 3)
Изображение переходной характеристики:
.По таблицам Z-преобразования:
h[n,e] = 1 – (1 - Kt)n + 1.
Переходная характеристика h[n,e] будет монотонной при 0 < Kt < 1 и колебательной при 1 < Kt < 2. Так как h[n,e] не зависит от e, то в интервале между моментами квантования переходная характеристика остается постоянной. На рис. 7,а приведена переходная характеристика для Кt = 0,5. При точном учете характера процесса в течение длительности импульса t переходная характеристика была бы такой, как показано на рис. 7,б. Значения этих переходных характеристик слева от момента дискретизации совпадают:
h[n] = 1 – (1 - Kt)n (19)
Эти значения на переходных характеристиках отмечены точками.
Рис. 7
Если вместе с задающим воздействием поступает и возмущающее воздействие, представляющее собой стационарный случайный процесс, то регулирование будет происходить со случайной ошибкой. Отношение дисперсии ошибки s2ош к дисперсии возмущающего воздействия s2воз при условии, что значения возмущающего воздействия, отстоящие на интервал дискретизации, некоррелированы, определяется выражением:
,где g[n] – импульсная характеристика замкнутой системы.
Так как импульсная характеристика является первой разностью переходной характеристики, то
g[n] = h[n+1] – h[n] = 1 – (1 - Kt)n+1 – 1 + (1 - Kt)n = Kt(1 - Kt)n.
Тогда:
.По формуле для суммы членов геометрической прогрессии:
. (20)Исследование импульсной системы проводится на модели, представленной на рис. 8.
Рис. 8
В верхней части модели собрана вспомогательная схема, формирующая очень короткие импульсы, которые с выхода блока CrossDetect подаются на схему Semple-Holde (S&H – слежение – запоминание), и импульсы длительностью t, которые подаются на импульсный модулятор. Длительность этих импульсов равна времени задержки блока задержки. Для сравнения процессов в импульсной и непрерывной системах собрана модель непрерывной системы с одним интегратором.
Импульсная модуляция производится блоком перемножения, на один из входов которого подается модулируемый процесс, а на второй – импульс единичной амплитуды. Для задания типа АИМ используется блок S&H. Выходной процесс этого блока совпадает с входным при управляющем сигнале <1, а при управляющем сигнале ³1 остается постоянным и равным значению входного процесса в момент подачи этого сигнала. При подаче на управляющий вход коротких импульсов с блока CrossDetect блок S&H осуществляет операцию «выборка-хранение».
2. Цифровые системы авторегулирования. Влияние квантования по уровню на процессы в САР
В цифровых САР обработка информации производится в цифровой форме. Как правило, цифровые САР содержат и аналоговые устройства – объекты регулирования (ОР) - генераторы, двигатели и др., измерительные устройства (ИзмУ) - дискриминаторы. Структура такой системы приведена на рис. 9.
Рис. 9
Все вычисления производятся цифровым управляющим устройством ЦУУ. АЦП и ЦАП могут быть как самостоятельными устройствами, так и частью измерительного устройства (цифровые дискриминаторы) или объекта регулирования (ОР с цифровым управлением). Операции аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразования являются нелинейными. В АЦП производится замена процесса, который может принимать любые значения, процессом, принимающим конечное число значений, а в ЦАП производится округление числа, так как разрядность ЦУУ, как правило, больше разрядности ЦАП.
Преобразование непрерывной величины в квантованную с наименьшей ошибкой осуществляется в устройствах квантования с двумя типами характеристик. Первая характеристика (рис. 10,а) имеет в окрестности нуля зону нечувствительности, а вторая (рис. 10,б) – релейную характеристику. Для обеих характеристик отклонение квантуемого процесса от квантованного не превышает половины шага квантования h. Характеристика стандартного АЦП приведена на рис. 10,в. Для нее максимальное отклонение входного и выходного процессов равно шагу квантования. Стандартный АЦП описывается уравнением: V = hE{U/h}. Здесь Е{a} означает целую часть числа a. Причем под целой частью следует понимать ближайшее целое число, меньшее a. Например, Е{0,2} = 0, а Е{-0,2} = -1. Заметим, что для формирования характеристики рис. 10,а нужно к входному процессу стандартного АЦП добавить h/2, а для формирования характеристики рис. 10,б – добавить h/2 к выходному процессу.
Рис. 10
Для исследования влияния квантования по уровню на процессы в системе авторегулирования обратимся к простейшей модели цифровой системы (рис. 11).
Рис. 11
В цепи обратной связи введена задержка на интервал дискретизации, так как вычисленное в данном интервале значение выходного процесса используется для регулирования только в следующем интервале. Элементы модели цифровой системы описываются следующими уравнениями:
вычитающее устройство:
u[n] = x[n] – y[n – 1], (21)
квантователь с характеристикой рис. 10,а:
v[n] = hE{u[n]/h + 0,5}, (22)
квантователь с характеристикой рис. 10,б:
v[n] = h(E{u[n]/h} + 0,5) (23)
и интегратор:
y[n] = y[n – 1] + Kv[n]. (24)
Найдем переходную характеристику системы, решая эти уравнения методом шагов для x[n] = 1[n] при нулевых начальных условиях. Примем следующие значения параметров: h = 0,5 и К = 0,4. Система с квантователем, имеющим зону нечувствительности, описывается уравнениями: (21), (22), (24). Решение запишем в виде таблицы.
| n | Нач.усл | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x[n] | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| u[n] | 0 | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,2 | 0,2 |
| v[n] | 0 | 1 | 0,5 | 0,5 | 0 | 0 |
| y[n] | 0 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 0,8 | 0,8 |
Так как начальные условия нулевые, то при n = -1 все процессы равны нулю. Заполняем строку x[n] = 1 при п ³ 0. По уравнению (21) находим: u[0] = x[0] – y[-1] = 1. По уравнению (22): v[0] = 0,5E{u[0]/0,5 + + 0,5} = 0,5E{1/0,5 + 0,5} = 1. По уравнению (24): y[0] = y[-1] + 0,4v[0] = = 0,4*1 = 0,4. Далее по уравнению (21) находим u[1] и т.д.
Аналогично находим переходную характеристику системы с квантователем, имеющим релейную характеристику в окрестности нуля. Результаты расчета тоже представлены в таблице.
| n | Нач.усл. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x[n] | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| u[n] | 0 | 1 | 0,5 | 0,2 | 0,1 | 0 | -0,1 | 0 |
| v[n] | 0 | 1,25 | 0,75 | 0,25 | 0,25 | 0,25 | -0,25 | 0,25 |
| y[n] | 0 | 0,5 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,0 | 1,1 |
На рис.12 показаны эти переходные характеристики. Там же для сравнения изображена переходная характеристика для дискретной системы, не содержащей квантователя, которая рассчитана по формуле h[n] = 1 – (1 – K)n + 1, полученной в предыдущей лабораторной работе. Видим, что в дискретной системе ошибка в установившемся режиме стремится к нулю. В цифровой системе она принципиально не может быть равной нулю и будет либо постоянной, либо знакопеременной. Зона нечувствительности в характеристике квантователя приводит к появлению постоянной ошибки, а релейная зависимость – к появлению периодических колебаний в установившемся режиме. Величина этих ошибок не превышает половины шага квантования.
Рис. 12
Такие же ошибки возникают и при любых других воздействиях. В данной лабораторной работе на модели исследуются процессы в системе при линейно изменяющемся воздействии. В принципе, эти процессы тоже можно рассчитать методом шагов. Мы не будем этого делать и найдем только скоростную ошибку в дискретной системе, чтобы в дальнейшем сравнивать с ней величину шага квантования. Передаточная функция разомкнутой системы:
Кр(z) = =Kинт(z)z-1
.Тогда
.Коэффициенты ошибок:
S0 = = Kош(z = 1) = 0 и
.Скоростная ошибка dск = Dx/K, где Dx – разность входного процесса, то есть приращение входного процесса за интервал дискретизации.
Отмеченная разница в переходных характеристиках существенна только при большом шаге квантования. При уменьшении шага квантования переходные характеристики сближаются. К тому же характеристика квантователя может перемещаться по обеим осям из-за помех, возникающих до и после квантователя.
Рис. 13
При малом шаге квантования и произвольном входном воздействии эти режимы могут переходить друг в друга и разница в процессах при различных характеристиках квантователя становится мало ощутимой. В выходном процессе будет присутствовать случайная составляющая, обусловленная процессом квантования. Как уже отмечалось, квантование по уровню является нелинейной операцией. Выходной процесс квантователя uкв[n], как видно из рис. 13, можно представить в виде суммы квантуемого процесса u[n] и так называемого шума квантования hкв[n], а сам квантователь – в виде параллельного соединения линейного устройства с коэффициентом передачи, равным 1 и нелинейного устройства с характеристикой hкв =F(u) (см. рис. 14). Эту характеристику можно получить как разность значений выходного и входного процессов квантователя (рис. 15).