Метод кусочного размножения оценок при обработке реализаций сигналов ограниченного объема (стр. 6 из 7)

Рис. 10. Фазочастотная характеристика дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения

и различной степени аппроксимирующего полинома на каждом интервале

Анализ результатов, представленных на рис. 10, показывает, что фазочастотные характеристики имеют колебательный характер и асимптотически затухают. При этом колебания тем быстрее затухают, чем меньше степень

. С уменьшением степени аппроксимирующего полинома и увеличением частоты амплитуда колебаний фазы уменьшается, приближаясь к нулю в полосе прозрачности фильтра.

На рис. 11 представлены АЧХ дискретного фильтра, для сравнения, при

и . Анализ рис. 11 показывает, что с увеличением значение параметра в два раза привело к уменьшению абсолютной полосы пропускания фильтра во столько же раз. При этом эквивалентная шумовая полоса не изменится, так как является относительной к длине импульсной характеристики , длина которой определяется параметром (22).

Рис. 11. Семейство амплитудно-частотных характеристик дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения

, и различной степени аппроксимирующего полинома на каждом интервале

Увеличение

в два раза несколько уменьшило максимальный уровень боковых лепестков, который составил -26 дБ при , -20 дБ при и -16,6 дБ при . Также одним из показателей сравнения различных дискретных фильтров является ширина главного лепестка АЧХ на уровне дБ и дБ, отнесенная к длине импульсной характеристики.

Для анализируемого фильтра ширина главного лепестка составила

и при ; и при ; и при . Проводя сравнения с аналогичными характеристиками для различных оконных функций, приведенных в работах Рабинера и Гоулда, Гольденберга, Хариса [3, 17, 19], отметим следующее: характеристики анализируемого дискретного фильтра при полностью совпадают с характеристиками оконной функции треугольной формы. Полученный результат закономерен, так как отклик дискретного фильтра при имеет такую же форму (рис. 8). С ростом степени аппроксимирующего полинома происходит увеличение ширины главного лепестка АЧХ фильтра по уровню 3 и 6 дБ, при этом также расширяется эквивалентная шумовая полоса . Ширина главного лепестка не зависит от параметра сглаживания , а определяет только длину импульсной характеристики фильтра и, как следствие, его разрешающую способность в частотной области [7, 16].

На рис. 12 представлен график ФЧХ для сравнения при

и и различных степенях аппроксимирующего полинома .

Рис. 12. Семейство фазочастотных характеристик дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения

, и различной фиксированной степени аппроксимирующего полинома на каждом интервале

Анализ характеристики, представленных на рис. 12, позволяет сделать вывод, что форма ФЧХ не зависит от параметра

. Таким образом, увеличение значения параметра не привело к эквивалентному изменению формы характеристики, а только изменило масштаб зависимости [9].

При анализе дискретного фильтра, который описывается уравнением (10), рассматривается случай, когда функция единичного скачка (17) определена на интервале

, хотя исходное уравнение определено на интервале . Это связано с тем, что способ оценивания на интервалах выборки , и различен, но при этом на интервале существует симметрия в подходе оценивания. В общем случае дискретный фильтр, описываемый уравнением (6), является нестационарным, а отклик системы на интервалах и зависит от положения единичного скачка (17).

Используя выражение (9) и определение исходного сигнала (17), запишем отклик системы, описываемой выражением (10):

(23)

Выражение (23) представляет собой отклик системы в случае, когда исходная последовательность ограничена интервалом

и обрабатывается с помощью предлагаемого метода кусочного размножения оценок с учетом особенностей на интервалах и . При этом отметим, что выражение для отклика системы при (23) полностью эквивалентно ранее полученному выражению для (20) и не зависит от (17).

На рис. 13 представлено семейство откликов дискретной системы, которая описывается выражением (23) для интервала

и . Отметим, что для характер зависимости эквивалентен. Анализ рис. 13 показывает, что с увеличением отклик системы переходит от антисимметричной зависимости к симметричной зависимости, при этом большему изменению подвергается левая часть импульсной характеристики, чем правая относительно ее максимума. При форма импульсной характеристики становится постоянной и не зависит от .