Смекни!
smekni.com

Технология и автоматизация производства РЭА (стр. 20 из 37)

Неодинаковы по точностным характеристикам статические и астати-

ческие САР. В статических САР изменение режима работы (смена равновес-

ного состояния) происходит со статической ошибкой, а в астатических

эта ошибка равна нулю.

Важным признаком классификации является вид обратной связи (ОС).

Различают САР с жесткой и изодромной ОС. Жесткая ОС (положительная или

отрицательная) действует в САР постоянно как в установившемся, так и в

переходном режимах, причем отрицательная ОС при отклонении объекта уп-

равления (или параметра) от равновесного (заданного) состояния вызыва-

ет нейтрализацию этого отклонения (сигнал рассогласования вычитается

из основного сигнала), а положительная - способствует переводу объекта

в другое равновесное состояние (сигнал рассогласования складывается с

основным). Изодромная ОС (гибкая, исчезающая) действует лишь в течение

переходного процесса. Применение ОС вообще, и изодромной в частности,

способствует повышению качества регулирования.

Обратная связь обеспечивает контроль регулируемого (управляемого)

параметра ТП автоматически в масштабе реального времени.

Измеренное с помощью датчика ОС фактическое значение регулируемо-

го параметра сравнивается с заданным (командным). Полученный в резуль-

тате сигнал рассогласования усиливается и является управляющим для си-

лового привода. В системах без ОС нет гарантии, что заданный на входе

сигнал, соответствующий требуемому изменению регулируемого параметра,

будет обработан силовым приводом из-за действия на систему неконтроли-

руемых факторов.

Обратная связь в соответствии с законом регулирования оказывает

существенное влияние на свойства САР, улучшая их.

Любая система описывается нелинейными уравнениями, однако часто

их можно и нужно линеаризовать, т.е. перейти к более простой модели.

Линеаризации бывают обычные, гармонические, статистические и др. Обыч-

ными будем называть линеаризации, основанные на разложении нелинейной

функции в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки и отбрасывании не-

линейных слагаемых.


- 54 -

Математическую модель любой САР называют звеном. Любое стационар-

ное линейное непрерывное звено с двумя входами описывается уравнением

вида: A 4o 0Y 5(n) 0+A 41 0Y 5(n-1) 0+...+A 4n 0Y=

=B 4o 0U 5(m) 0+B 41 0U 5(m-1) 0+...+B 4m 0U+C 4o 0F 5(l) 0+C 41 0F 5(l-1) 0+...+C 4l 0F (25),

где Y 5(i) 0,U 5(i) 0,F 5(i) 0 - i-е производные по времени.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция сис-

темы на несколько одновременно приложенных воздействий равна сумме ре-

акции системы на каждое воздействие в отдельности.

Для уравнения (25) это означает, что если Y(t) - реакция системы,

то при одних и тех же начальных условиях Y(t) =Y 4u 0(t)+Y 4f 0(t) (26).

Благодаря принципу суперпозиции исследование систем с несколькими

входами всегда можно свести к исследованию систем с одним входом. Сис-

тема описывается уравнением вида

A 4o 0Y 5(n) 0+A 41 0Y 5(n-1) 0+...+A 4n 0Y=B 4o 0U 5(m) 0+B 41 0U 5(m-1) 0+...+B 4m 0U (27).

Используя символическую форму записи для операции дифференцирова-

ния - оператор р (оператор дифференцирования), то, по определению

py=dy/dt (28), p 5i 0y=d 5i 0y/dt 5i 0 (29) и, используя р, уравнение (27) можно

представить в виде: A 4o 0P 5n 0Y+A 41 0P 5n-1 0Y+...+A 4n 0Y=B 4o 0P 5m 0U+B 41 0P 5m-1 0U+...+B 4m 0U (30),

или, вынося за скобки Y, U (оператор р можно рассматривать как алгеб-

раический сомножитель, не обладающий свойством коммутативности), полу-

чим уравнение вида Q(p)Y=R(p)U (31), где дифференциальный оператор

Q(p) при выходной величине называют собственным оператором, а диффе-

ренциальный оператор R(p) при входной величине - оператором воздейс-

твия, такая запись удобна при определении передаточных функций.

Передаточной функцией в операторной форме W(p) называется отноше-

ние оператора воздействия к собственному оператору. Согласно определе-

нию, передаточная функция системы (27) имеет вид W(p)=R(p)/Q(p) (32).

Используя W(p), получим уравнение Y=W(p)*U (33).

Если система имеет m входов и m выходов, то для ее описания тре-

буется m передаточных функций. В частности, уравнение (25) в символи-

ческой форме имеет вид Y(t)=W 4u 0(p)U(t)+W 4f 0(p)F(t) (34).

Для системы управления с обратной связью передаточная функция

имеет вид W 4p 0=W 41 0(p)/(1+ W 41 0(p)W 42 0(p)) (35), где W 41 0(p) - передаточная

функция объекта, W 42 0(p) - передаточная функция ОС.

Вид ОС определяет реализуемый в САР закон регулирования. Под за-

коном (алгоритмом) регулирования понимают функциональную зависимость

выходной величины Y регулятора от его входной величины U.

В серийно выпускаемых промышленных П-, ПД-, ПИ-, ПИД-регуляторах

применяют соответственно следующие типовые законы регулирования:

Y=K 4o 0U (36) - пропорциональный закон (П);

Y=(K 4o 0+K 41 0p)U (37) - пропорционально-дифференциальный по 1-й произ-

водной (ПД);

Y=(K 4o 0+K 41 0p+K 42 0P 52 0)U (38) - то же по 1-й и 2-й производным (ПД);

Y=(K 4o 0+B 41 0/p)U (39) - пропорционально-интегральный (ПИ);

Y=(B 41 0/p)U (40) - интегральный (И);

Y=(K 4o 0+K 41 0p+B 41 0/p)U (41) - пропорционально-интегродифференциальный

(ПИД).

Критерии качества - совокупность показателей, позволяющих оценить

качество работы САР. Их можно разделить на две группы: интегральные

критерии (функционалы, численные значения которых служат мерой качест-

ва) и критерии, основанные на задании определенного расположения полю-

сов системы (применяются исключительно для оценки качества линейных

систем). Оценка качества по обобщенному интегральному критерию

T

J= 73 0F(x)dt (42), где F(x) - функция переменных, характеризующих состоя-

0 ние системы.

Для линейных систем большинство оценок можно получить без прямого

интегрирования дифференциальных уравнений САР. При действии на САР


- 55 -

случайных возмущений распространенным критерием качества динамической

точности служит средняя квадратическая погрешность, являющаяся харак-

теристикой рассеивания возможных значений случайной величины относи-

тельно их среднего значения и определяемая как положительное значение

квадратного корня из дисперсии случайной величины.

Наряду с этими оценками при синтезе систем со случайными воздейс-

твиями используют удельный риск, общий риск и другие критерии качест-

ва.

Частотные характеристики.

Если передаточную функцию стационарной системы записать в виде

p=jw (43), то функция вида

W(jw)=(B 4o 0(jw) 5m 0+B 41 0(jw) 5m-1 0+...+B 4m 0)/(A 4o 0(jw) 5n 0+A 41 0(jw) 5n-1 0+...+A 4n 0) (44) будет

частотной передаточной функцией. Ее можно представить в виде

W(jw)=U(w)+jV(w)=A(w)e 5jF(w) 0 (45), A(w)= 7? 0(U 52 0(w)+V 52 0(w)) (46),

F(w)=argW(jw) (47). На комплексной плоскости частотная передаточная

функция определяет вектор ОС, длина (модуль ) которого равна A(w), а

угол, образованный этим вектором с действительной положительной полу-

осью, равен F(w). Кривая, которую описывает конец этого вектора при

изменении частоты от нуля до бесконечности, называется амплитудно-фа-

зо-частотной характеристикой (АФЧХ).

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

│jV

│ U(w)

─────────────┼───────┬─────────

0│\ F(w) │ U

│ \ │

│ \ │

V(w)├──────\C

Рис. 11. АФЧХ

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

Действительную часть U(w)=ReW(jw) (48) и мнимую часть

V(w)=ImW(jw) (49) называют соответственно вещественной и мнимой час-

тотными функциями. График вещественной частотной характеристики (кри-

вая U=U(w) при изменении w от 0 до бесконечности) называют веществен-

ной частотной характеристикой, а график мнимой частотной функции -

мнимой частотной характеристикой. Модуль A(w)=│W(j)│ - амплитудная

частотная функция, а ее график - амплитудная частотная характеристика.

Аргумент F(w)=argW(jw) называют фазовой частотной функцией, а ее гра-

фик - фазовой частотной характеристикой. Установим, какой физический

смысл имеют частотные характеристики. Если на вход устойчивой линейной

стационарной системы подается гармонический сигнал u=a*sin(wt), то на

ее выходе после окончания переходного процесса устанавливается гармо-

нический процесс с амплитудой в и фазой, сдвинутой относительно фазы

входного сигнала на угол f. Амплитуда в и сдвиг фазы f зависят от час-

тоты входного сигнала и свойства системы. Кроме того, амплитуда в за-

висит еще от амплитуды входного сигнала. Но отношение в/а не зависит

от амплитуды а. Оказывается, что в/а=A(w) и F=F(w), т.е. амплитудная

частотная характеристика равна отношению амплитуды выходного сигнала к

амплитуде входного гармонического сигнала (в установившемся режиме), а

фазовая частотная функция - сдвигу фазы выходного сигнала.

Временные характеристики.

Переходные и импульсные переходные характеристики называются вре-

менными. Они используются при описании линейных систем как стационар-

ных, так и нестационарных. Переходной функцией звена называется функ-

ция h(t), которая описывает его реакцию (изменение выходной величины)


- 56 -

на единичное ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных усло-

виях.

По определению, 1(t)= 7( 01, t>0

79 00, t<0 (50).

График переходной функции - кривая зависимости h(t) от времени t

называется переходной или разгонной характеристикой.

Импульсной переходной или весовой функцией называется функция

w(t), которая описывает реакцию системы на единичное импульсное воз-