Мир Знаний

Анализ дискретной системы (стр. 2 из 2)

Рисунок 2: переходная характеристика

Задание IV. Импульсная характеристика

Найдем отклик системы на входное воздействие следующего вида

.

y(n)=1*x(n)+1*x(n-1)+1*x(n-2)+1*x(n-3)+0,5*y(n-1)+0,3*y(n-2)

При n = 0 выходной сигнал системы будет равна

y(0)=x(0)+ x(0-1)+x(0-2)+x(0-3)+0,5*y(0-1)+0,3*y(0-2)

y(0)=1+0+0+0+0+0=1

При n = 1 выходной сигнал системы будет равна

y(1)=x(1)+x(1-1)+x(1-2)-x(1-3)+0,5*x(1-1)+0,3*x(1-2)

y(1)=1+1+0+0+0,5+0=2,5

При n = 2 выходной сигнал системы будет равна

y(2)=x(2)+x(2-1)+x(2-2)+x(2-3)+0,5*y(2-1)+0,3*y(2-2)

y(2)=1+1+1+0+0,5*2,5+0,3=4,55


При n = 3 выходной сигнал системы будет равна

y(3)=x(3)+x(3-1)+x(3-2)+x(3-3)+0,5*y(3-1)+0,3*y(3-2)

y(3)=1+1+1+1+0,5*4,55+0,3*2,5=7,02

При n = 4 выходной сигнал системы будет равна

y(4)=x(4)+x(4-1)+x(4-2)+x(4-3)+0,5*y(4-1)+0,3*y(4-2)

y(4)=1+1+1+1+0,5*7,02+0,3*4,55=8,87

При n = 5 выходной сигнал системы будет равна

y(5)=x(5)+x(5-1)+x(5-2)+x(5-3)+0,5*x(5-1)+0,3*x(5-2)

y(5)=1+1+1+1+0,5*8,87+0,3*7,02=10,54

При n = 6 выходной сигнал системы будет равна

y(6)=x(6)+x(6-1)+x(6-2)+x(6-3)+0,5*y(6-1)+0,3*y(6-2)

y(6)= 1+1+1+1+0,5*10,54+0,3*8,87=11,93

При n = 7 выходной сигнал системы будет равна

y(7)=x(7)+x(7-1)+x(7-2)+x(7-3)+0,5*y(7-1)+0,3*y(7-2)

y(7)= 1+1+1+1+0,5*11,93+0,3*10,54=13,12

При n = 8 выходной сигнал системы будет равна

y(8)=x(8)+x(8-1)+x(8-2)+x(8-3)+0,5*y(8-1)+0,3*y(8-2)

y(8)= 1+1+1+1+0,5*13,12+0,3*11,93=14,13


При n = 9 выходной сигнал системы будет равна

y(9)=x(9)+x(9-1)+x(9-2)+x(9-3)+0,5*y(9-1)+0,3*y(9-2)

y(9)= 1+1+1+1+0,5*14,13+0,3*13,12=15,0

При n = 10 выходной сигнал системы будет равна

y(10)=x(10)+x(10-1)+x(10-2)+x(10-3)+0,5*y(10-1)+0,3*y(10-2)

y(10)= 1+1+1+1+0,5*15,0+0,3*14,13=15,73

При n = 11 выходной сигнал системы будет равна

y(11)=x(11)+x(11-1)+x(11-2)+x(11-3)+0,5*y(11-1)+0,3*y(11-2)

y(11)=0+1+1+1+0,5*15,73+0,3*15,0=15,36

При n = 12 выходной сигнал системы будет равна

y(12)=x(12)+x(12-1)+x(12-2)+x(12-3)+0,5*y(12-1)+0,3*y(12-2)

y(12)=0+0+1+1+0,5*15,36+0,3*15,73=14,40

При n = 13 выходной сигнал системы будет равна

y(13)=x(13)+x(13-1)+x(13-2)+x(13-3)+0,5*y(13-1)+0,3*y(13-2)

y(13)=0+0+0+1+0,5*14,40+0,3*15,36=12,81

При n = 14 выходной сигнал системы будет равна

y(14)=x(14)+x(14-1)+x(14-2)+x(14-3)+0,5*y(14-1)+0,3*y(14-2)

y(14)=0+0+0+0+0,5*12,81+0,3*14,40=10,72


При n = 15 выходной сигнал системы будет равна

y(15)=x(15)+0*x(15-1)+x(15-2)+x(15-3)+0,5*y(15-1)+0,3*y(15-2)

y(15)=0+0+0+0+0,5*10,72+0,3*12,81=9,20

Рисунок 3: выходной сигнал

Задание V. Системная функция дискретной системы

Найдем системную функцию дискретной системы.

Преобразуем разностное уравнение из области отчетов n в область некоторой комплексной переменной z по следующим правилам:

,
,
и т.д.

Тогда получим

y(n)=1*x(n)+1*x(n-1)+1*x(n-2)+1*x(n-3)+0,5*y(n-1)+0,3*y(n-2)

y(z)=1*x(z)+1*x(z)*z-1+1*x(z)*z-2+1*x(z)z-3+0,5*y(z)*z-1+0,3*y(z)*z-2

Системная функция W(z) – это отношение выходного и входного сигналов в области z, равная

.

Разделим наше выражение на X(Z)

Тогда получим:

w(z)=1+z-1+z-2+z-3+0,5*w(z)*z-1+0,3*w(z)*z-2

отсюда получим конечное выражение

Задание VI. АЧХ и ФЧХ

Найдем амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристику системы (АЧХ и ФЧХ).

Для вычисления АЧХ и ФЧХ используем программу MathCad

Зададим коэффициенты системы

а0:=1

а1:=1

а2:=1

а3:=1

b1:=0,5

b2:=0,3

L:=10

ω:=-L,-L+0.05..L

j:=


Передаточная функция системы

Рисунок 4: АЧX

Рисунок 5: ФЧХ

Обратим внимание, что обе частотные характеристики являются периодическими функциями с периодом повторения, равном частоте дискретизации

,

где Td – это шаг дискретизации сигнала.

Задание VII. Устойчивость системы

Оценим устойчивость системы

Понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Естественно, что существует граница устойчивости – это мощность силы, выведшей систему из состояния равновесия.

Для этих целей необходимо вычислить полюса системной функции W(z), т.е. такие значения z, при которых знаменатель системной функции равен нулю. Получим

1-0,5*z-1-0,3*z-2 =0

Умножим правую и левую часть на z2

Z2-0,5*z-0,3=0

Z1;2=

Z1;2=0.85;-0.35

Если хотя бы одно из полученных значений корня

, то система считается неустойчивой Z1=0.85<1

Данная система устойчива.


Вывод

Мы ознакомились с системными функциями линейных систем. Приобрели практические навыки анализа дискретной линейной системы, научились строить графики АЧХ и ФЧХ с помощью программы MathCad.

Подводя общий итог проведенных выше исследований, можно утверждать что наша система неустойчива.


Список литературы

1. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций / А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов и др. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 608 с.

2. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Учеб. пособие. – Новосибирск, Изд-во НГТУ, 1998. – Ч.1. – 103 с.

3. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Учеб. пособие. – Новосибирск, Изд-во НГТУ, 1998. – Ч.2. – 115 с.

4. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. – М.: Мир, 1988. – Ч.1. – 336с.

5. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. – М.: Мир, 1988. – Ч.2. – 360с.