Анализ дискретной системы (стр. 2 из 2)
Рисунок 2: переходная характеристика
Задание IV. Импульсная характеристика
Найдем отклик системы на входное воздействие следующего вида
.
y(n)=1*x(n)+1*x(n-1)+1*x(n-2)+1*x(n-3)+0,5*y(n-1)+0,3*y(n-2)
При n = 0 выходной сигнал системы будет равна
y(0)=x(0)+ x(0-1)+x(0-2)+x(0-3)+0,5*y(0-1)+0,3*y(0-2)
y(0)=1+0+0+0+0+0=1
При n = 1 выходной сигнал системы будет равна
y(1)=x(1)+x(1-1)+x(1-2)-x(1-3)+0,5*x(1-1)+0,3*x(1-2)
y(1)=1+1+0+0+0,5+0=2,5
При n = 2 выходной сигнал системы будет равна
y(2)=x(2)+x(2-1)+x(2-2)+x(2-3)+0,5*y(2-1)+0,3*y(2-2)
y(2)=1+1+1+0+0,5*2,5+0,3=4,55
При n = 3 выходной сигнал системы будет равна
y(3)=x(3)+x(3-1)+x(3-2)+x(3-3)+0,5*y(3-1)+0,3*y(3-2)
y(3)=1+1+1+1+0,5*4,55+0,3*2,5=7,02
При n = 4 выходной сигнал системы будет равна
y(4)=x(4)+x(4-1)+x(4-2)+x(4-3)+0,5*y(4-1)+0,3*y(4-2)
y(4)=1+1+1+1+0,5*7,02+0,3*4,55=8,87
При n = 5 выходной сигнал системы будет равна
y(5)=x(5)+x(5-1)+x(5-2)+x(5-3)+0,5*x(5-1)+0,3*x(5-2)
y(5)=1+1+1+1+0,5*8,87+0,3*7,02=10,54
При n = 6 выходной сигнал системы будет равна
y(6)=x(6)+x(6-1)+x(6-2)+x(6-3)+0,5*y(6-1)+0,3*y(6-2)
y(6)= 1+1+1+1+0,5*10,54+0,3*8,87=11,93
При n = 7 выходной сигнал системы будет равна
y(7)=x(7)+x(7-1)+x(7-2)+x(7-3)+0,5*y(7-1)+0,3*y(7-2)
y(7)= 1+1+1+1+0,5*11,93+0,3*10,54=13,12
При n = 8 выходной сигнал системы будет равна
y(8)=x(8)+x(8-1)+x(8-2)+x(8-3)+0,5*y(8-1)+0,3*y(8-2)
y(8)= 1+1+1+1+0,5*13,12+0,3*11,93=14,13
При n = 9 выходной сигнал системы будет равна
y(9)=x(9)+x(9-1)+x(9-2)+x(9-3)+0,5*y(9-1)+0,3*y(9-2)
y(9)= 1+1+1+1+0,5*14,13+0,3*13,12=15,0
При n = 10 выходной сигнал системы будет равна
y(10)=x(10)+x(10-1)+x(10-2)+x(10-3)+0,5*y(10-1)+0,3*y(10-2)
y(10)= 1+1+1+1+0,5*15,0+0,3*14,13=15,73
При n = 11 выходной сигнал системы будет равна
y(11)=x(11)+x(11-1)+x(11-2)+x(11-3)+0,5*y(11-1)+0,3*y(11-2)
y(11)=0+1+1+1+0,5*15,73+0,3*15,0=15,36
При n = 12 выходной сигнал системы будет равна
y(12)=x(12)+x(12-1)+x(12-2)+x(12-3)+0,5*y(12-1)+0,3*y(12-2)
y(12)=0+0+1+1+0,5*15,36+0,3*15,73=14,40
При n = 13 выходной сигнал системы будет равна
y(13)=x(13)+x(13-1)+x(13-2)+x(13-3)+0,5*y(13-1)+0,3*y(13-2)
y(13)=0+0+0+1+0,5*14,40+0,3*15,36=12,81
При n = 14 выходной сигнал системы будет равна
y(14)=x(14)+x(14-1)+x(14-2)+x(14-3)+0,5*y(14-1)+0,3*y(14-2)
y(14)=0+0+0+0+0,5*12,81+0,3*14,40=10,72
При n = 15 выходной сигнал системы будет равна
y(15)=x(15)+0*x(15-1)+x(15-2)+x(15-3)+0,5*y(15-1)+0,3*y(15-2)
y(15)=0+0+0+0+0,5*10,72+0,3*12,81=9,20
Рисунок 3: выходной сигнал
Задание V. Системная функция дискретной системы
Найдем системную функцию дискретной системы.
Преобразуем разностное уравнение из области отчетов n в область некоторой комплексной переменной z по следующим правилам:
, 
, 
и т.д.
Тогда получим
y(n)=1*x(n)+1*x(n-1)+1*x(n-2)+1*x(n-3)+0,5*y(n-1)+0,3*y(n-2)
y(z)=1*x(z)+1*x(z)*z-1+1*x(z)*z-2+1*x(z)z-3+0,5*y(z)*z-1+0,3*y(z)*z-2
Системная функция W(z) – это отношение выходного и входного сигналов в области z, равная
.
Разделим наше выражение на X(Z)
Тогда получим:
w(z)=1+z-1+z-2+z-3+0,5*w(z)*z-1+0,3*w(z)*z-2
отсюда получим конечное выражение
Задание VI. АЧХ и ФЧХ
Найдем амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристику системы (АЧХ и ФЧХ).
Для вычисления АЧХ и ФЧХ используем программу MathCad
Зададим коэффициенты системы
а0:=1
а1:=1
а2:=1
а3:=1
b1:=0,5
b2:=0,3
L:=10
ω:=-L,-L+0.05..L
j:=
Передаточная функция системы
Рисунок 4: АЧX
Рисунок 5: ФЧХ
Обратим внимание, что обе частотные характеристики являются периодическими функциями с периодом повторения, равном частоте дискретизации
,
где Td – это шаг дискретизации сигнала.
Задание VII. Устойчивость системы
Оценим устойчивость системы
Понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.
Естественно, что существует граница устойчивости – это мощность силы, выведшей систему из состояния равновесия.
Для этих целей необходимо вычислить полюса системной функции W(z), т.е. такие значения z, при которых знаменатель системной функции равен нулю. Получим
1-0,5*z-1-0,3*z-2 =0
Умножим правую и левую часть на z2
Z2-0,5*z-0,3=0
Z1;2=
Z1;2=0.85;-0.35
Если хотя бы одно из полученных значений корня 
, то система считается неустойчивой Z1=0.85<1
Данная система устойчива.
Вывод
Мы ознакомились с системными функциями линейных систем. Приобрели практические навыки анализа дискретной линейной системы, научились строить графики АЧХ и ФЧХ с помощью программы MathCad.
Подводя общий итог проведенных выше исследований, можно утверждать что наша система неустойчива.
Список литературы
1. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций / А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов и др. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 608 с.
2. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Учеб. пособие. – Новосибирск, Изд-во НГТУ, 1998. – Ч.1. – 103 с.
3. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Учеб. пособие. – Новосибирск, Изд-во НГТУ, 1998. – Ч.2. – 115 с.
4. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. – М.: Мир, 1988. – Ч.1. – 336с.
5. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. – М.: Мир, 1988. – Ч.2. – 360с.