Мир Знаний

Устойчивость радиоэлектронных следящих систем (стр. 2 из 3)

Рис. 1. Годографы характеристического комплекса

Находим корни мнимой части характеристического комплекса, приравнивая его нулю: Im(

) = 0. Найденные значения корней подставим в действительную часть и вычислим ее. Если действительная часть меняет знак при последовательной подстановке корней в порядке увеличения их значений, то система устойчива. Иначе говоря, в устойчивой системе корни мнимой и действительной частей характеристического комплекса перемежаются.

Поскольку в замкнутой системе все передаточные функции, связывающие входные и выходные величины, не отличаются знаменателем, то для определения устойчивости можно использовать характеристический комплекс любой частотной передаточной функции замкнутой системы.

Коэффициент (

) является коэффициентом усиления разомкнутой системы
, при увеличении
годограф смещается вправо и при критическом значении
пройдет через начало координат. Поэтому величина А (рис. 4.1) определяет запас устойчивости по амплитуде.

Критерий Найквиста базируется на исследовании поведения годографа частотной передаточной функции (амплитудно-фазовой характеристики) разомкнутой системы.

Рис.2. Годографы частотной передаточной функции разомкнутой системы

Если годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, при изменении частоты

от 0 до
не охватывает точку с координатами (-1;j0) , то система устойчива, в противном случае система не устойчива (рис. 2).

Если годограф проходит через точку с координатами (-1;j0), то система находится на границе устойчивости. Это означает, что на некоторой частоте фазовый сдвиг равен

,а модуль частотной передаточной функции А(ω)=1. Поскольку в замкнутой системе имеет место отрицательная обратная связь, то при таком фазовом сдвиге обратная связь становится положительной и выполняются условия самовозбуждения.

Для систем, содержащих интегрирующие звенья, годограф уходит в «бесконечность» при

. Тогда, чтобы решить охватывает или нет годограф точку с координатами (-1;j0), его дополняют дугой бесконечно большого радиуса, которая начинается на положительной полуоси вещественных чисел и заканчивается на пересечении с годографом. Дуга проводится в направлении по часовой стрелке.

Необходимость в дополнении годографа дугой обусловлена следующим. Вывод критерия Найквиста базируется на критерии устойчивости Михайлова, из которого следует: если в точку с координатами (-1;j0),поместить начало вектора, соединяющего эту точку с кривой АФХ разомкнутой системы (рис.4.3), то для устойчивой системы этот вектор при изменении частоты

от 0 до
, описав АФХ этой системы, не должен совершить ни одного оборота вокруг точки с координатами (-1;j0). Если же АФХ охватывает эту точку, то полное приращение аргумента вектора составит 360 градусов.

Критерий позволяет оценить запас устойчивости по фазе и амплитуде (рис. 4). Запас устойчивости по фазе показывает на какую величину необходимо увеличить запаздывание в системе, чтобы она оказалась на границе устойчивости и рассчитывается по формуле:

,

где

─ частота среза определяемая из условия:

Рис.3.Годограф, дополненный дугой

Запас устойчивости по фазе для хорошо демпфированных систем должен составлять

.

Запас устойчивости по амплитуде В показывает во сколько раз необходимо увеличить усиление в системе, чтобы она оказалась на границе устойчивости:

,

Рис 4. Определение запасов устойчивости


Определение устойчивости с помощью ЛАЧХ разомкнутой системы

Устойчивость минимально-фазовых систем, может быть определена по ЛАЧХ. Необходимым и достаточным условием устойчивости в этом случае является пересечение ЛАЧХ оси частот с наклоном -20дБ/дек.). Запас считается достаточным, если протяженность этого участка не менее одной декады.

Если система не является минимально-фазовой, то для определения устойчивости и запаса устойчивости, необходимо использовать ЛФЧХ.

Условие устойчивости: значение фазы на частоте среза меньше

:

.

Запас устойчивости по фазе:

или
.

Запас устойчивости по амплитуде определяется на

:
;

Запас устойчивости по амплитуде

показывает на сколько дБ необходимо увеличить усиление в системе, чтобы она оказалась на границе устойчивости (рис. 5)

Рис. 5. Логарифмические характеристики разомкнутых систем: 1 – ЛЧХ устойчивой системы; 2 – ЛЧХ неустойчивой системы.

Абсолютно и условно устойчивые системы

Проанализируем АФХ разомкнутой системы (рис. 6), содержащей в своем составе апериодические и интегрирующие звенья. АФХ соответствует передаточной функции:

где К – коэффициент усиления или добротность системы.

Система устойчива, так как годограф не охватывает точку c координатами (-1, j0).

С увеличением К запас устойчивости уменьшается и при некотором

Рис. 6. Годографы передаточной функции абсолютно устойчивых систем

значении коэффициента усиления

(
на графике, рис.6) система теряет устойчивость.

Системы, добротность которых ограничена условиями устойчивости лишь сверху, называются абсолютно устойчивыми:

.

Как правило, величину коэффициента усиления выбирают из условия обеспечения заданной точности, а для достижения устойчивости вводят корректирующие звенья. В результате годограф деформируется (рис. 7).

Рис. 7. Годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы с корректирующими звеньями

При этом

.

Если для такой системы увеличивать К, то при некотором его значении система станет не устойчива (рис. 8).

При этом

.

Рис.8. Годограф частотной передаточной функции

неустойчивой системы

Если К уменьшать, то годограф сжимается к оси ординат и система также становится неустойчивой (рис. 9). При этом

;
.

Системы, добротность которых ограничена условием устойчивости как снизу, так и сверху называют условно устойчивыми. Для условно устойчивых систем число критических частот, меньших чем

, четно.