Проблемы очередей (стр. 2 из 5)

Бесконечная генеральная совокупность

Предполагается, что бесконечная генеральная совокупность пользователей настолько велика, что изменение ее размеров вследствие прибытия (т.е. появления клиента, который нуждается в услуге) или возвращения обслуженного клиента в свою исходную совокупность не оказывает существенного влияния на вероятность появления заявки на обслуживание. Если бы в мастерской, в рассмотренном выше примере, было не шесть, а 100 станков, то при поломке одного или двух из них вероятность выхода из строя следующего изменилась бы совсем незначительно, и при анализе ситуации можно было бы с малой погрешностью исходить из предположения, что данная генеральная совокупность практически является бесконечной. Формулы для решения задач, связанных с "бесконечными" очередями, могут применяться, например, при анализе работы врача, обслуживающего 1000 пациентов, или крупного универмага с потоком в 10 тысяч покупателей.

Распределение входящего потока

Для выбора параметров системы управления очередями вначале следует определить способ, с помощью которого ожидающие заявки ( требования) организуются для последующего обслуживания. В формулах для анализа очередей используется такой показатель, как интенсивность входящего потока т.е. количество поступивших заявок за определенный период времени (например, среднее число заявок за полгода). На практике различают равномерное и произвольное распределения поступающего потока заявок. Равномерное распределение входящего потока характеризуется строгой периодичностью, т.е. равными интервалами времени между подряд идущими входящими заявками. В производственных системах такими потоками могут быть только ритмичные процессы и ими можно управлять автоматически. Значительно шире распространено произвольное (переменное) распределение входящих потоков заявок, которое обсуждается ниже. При рассмотрении входящих потоков заявок в сервисную систему следует учитывать два основных момента. Во-первых, необходимо проанализировать интервалы времени между двумя следующими подряд входящими заявками и определить закон их статистического распределения. Обычно принимается, что интервалы между поступающими заявками на обслуживание распределяются экспоненциально. Во-вторых, можно установить определенный период времени Ф и попытаться определить, сколько заявок может поступить в систему за этот период Т. Для этого чаще всего используется распределение Пуассона.

Экспоненциальное распределение

Если заявки на обслуживание поступают в сервисную систему абсолютно произвольно, временные интервалы между соседними заявками распределяются по экспоненциальному закону (рис.5.4).Функция распределения вероятностей в таком случае имеет вид

где - среднее количество заявок, поступающих за определенный период времени.

Интегрируя кривую (5д. 1), т.е.

, в области положительных значений, можно вычислить

вероятность появления входящих заявок за определенный период времени. Так, например, при условии поступлении в очередь одной заявки в единицу времени

можно образовать приведенную ниже таблицу, значения для которой либо получены из формулы , либо взяты из Приложения F. Во втором столбце этой таблицы приведены вероятности того, что следующая входящая заявка поступит более чем через t минут после предыдущей. В третьем столбце приведены вероятности появления следующей входящей заявки в течение t минут (они вычисляются вычитанием из столбца 1 значений столбца 2).

Рис. 5.4. Экспоненциальное распределение

Чтобы найти число поступающих заявок в течение определенного периода Т, необходимо воспользоваться распределением Пуассона, приведенным на рис. 5.5. Оно получено вычислением вероятности появления n событий (заявок) в течение периода Т при условии, что появление событий носит произвольный характер. Закон распределения вероятностей Пуассона описывается формулой

Применительно к рассматриваемой проблеме очередей формула (5д.2) отображает вероятность поступления конкретного числа n входящих заявок за определенный период времени T1. так,например, если средняя интенсивность входящего в систему потока равна трем заявкам в минуту

(λ = 3) и нужно определить вероятность того, что в течение минутного периода в систему поступят именно пять заявок (λ = 5, Т= 1), то получаем

Следовательно, в любой минутный интервал в сервисную систему поступает 5 заявок с вероятностью 10,1%. Распределение Пуассона графически чаще отображается в виде плавной кривой, как, например, показано на рис. 5.5, однако фактически оно дискретно. (Кривая сглаживается в большей мере при увеличении значения п.) Рассматриваемое нами распределение может быть только дискретным, поскольку n в рассматриваемом случае обозначает количество заявок, поступающих в сервисную систему, а следовательно, обязательно должно быть целым числом (например, не может быть 1,5 заявки).

Обратите также внимание, что экспоненциальное и пуассоновское распределения взаимосвязаны. Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона одинаковы и равны λ . Среднее значение экспоненциального распределения равно

а дисперсия --- . (Нужно помнить, что интервалы между двумя входящими заявками распределяются экспоненциально, а количество заявок в единицу времени - в соответствии с распределением Пуассона.) 1 n!= n(n- 1)(n- 197 )

Другие характеристики входящих потоков

Другими важными характеристиками входящих потоков являются: вид входящего потока, размер единицы входящего потока заявок и уровень терпеливости клиентов (рис. 5.6).

Bug входящего потока

Входящие в систему потоки намного лучше поддаются управлению, чем принято считать. Так, например, парикмахер может снизить интенсивность входящего потока в субботу (и, чаще всего, переместить его на другие дни недели), увеличив цену стрижки взрослого посетителя на 1 доллар или взимая за стрижку ребенка "взрослую" цену. Магазины проводят сезонные распродажи в периоды затишья или однодневные распродажи частично для регулирования потока покупателей. С такой же целью авиалинии предлагают своим пассажирам сезонные скидки и сниженные расценки для туристов. Проще всего управлять входящими потоками, назначив конкретные часы работы предприятия. Однако следует помнить, что в некоторых сервисных организациях спрос неуправляемый, как, например, потребность в неотложной медицинской помощи в городской больнице. Однако даже в таких ситуациях входящими потоками в пункты скорой помощи конкретных больниц в некоторой степени можно управлять, например, информировать водителей машин, работающих в конкретном районе, о степени загруженности разных больниц.

Единица входящего потока

Одиночная заявка рассматривается как единица измерения потока (т.е. наименьшее возможное число). Так, например, одиночная заявка на Нью-йоркской фондовой бирже составляет пакет из 100 акций; одиночная заявка потока на яйцеперерабатывающей фабрике может быть как десяток яиц, так и лоток на 2,5 десятка яиц; одиночная заявка в ресторан --- один посетитель. Групповая заявка включает в себя множество единиц, например, лот акций из 10 пакетов (1000 акций), ящик из лотков яиц или компания из пяти человек, пришедшая в ресторан.

Терпеливой называют заявку клиента, который будет ожидать момента оказания услуги сервисным предприятием столько времени, сколько необходимо. В соответствии с теорией очередей, даже если клиент ведет себя нетерпеливо и выражает свое недовольство, уже тот факт, что он тем не менее продолжает ожидать, позволяет назвать его терпеливым. Существует два типа нетерпеливых входящих потоков. Клиенты (заявки) первого типа прибывают в систему обслуживания, осматривают ее и очередь и решают немедленно уйти. Ко второму типу относятся те, кто прибывает, знакомится с ситуацией, становится в очередь и затем, постояв некоторое время, все же уходит. Поведение первого типа называют неприсоединением к очереди , а второго - переоценкой условий ожидания .

Характеристика очередей

Как уже отмечалось, основными элементами системы массового обслуживания являются очереди (или несколько очередей) и имеющиеся в наличии каналы обслуживания. Ниже описываются основные характеристики очередей и правила управления ими, а также анализируются структуры очередей.