Смекни!
smekni.com

Сопоставление предела прочности хрупких материалов при растяжении

с пределом прочности при сжатии
показывают, что эти материалы обладают, как правило, более высокими прочностными показателями при сжатии, нежели при растяжении. Величина отношения
для чугуна составляет 0.2 ё0.4, для керамических материалов 0.1ё0.2. Для пластичных материалов установлено, что
.

Большое влияние на проявление свойств материалов оказывает скорость нагружения и температурное воздействие. При высокоскоростном нагружении более резко проявляются свойства хрупкости, а при медленном нагружении - свойства пластичности. Например, хрупкое стекло способно при длительном воздействии нагрузки в условиях нормальной температуры (+20оС) проявляет пластические свойства. Пластичные же материалы, такие, как малоуглеродистая сталь, при воздействии ударных нагрузок проявляет хрупкие свойства. В зависимости от указанных обстоятельств механические свойства материалов проявляются по-разному. Обобщенный анализ свойств материалов с учетом температуры и времени оказывается очень сложным. Функциональная зависимость между четырьмя параметрами s, e, температурой to и временем t, т.е.

не является адекватной и содержит в сложной форме дифференциальные и интегральные соотношения, входящих в нее величин.

Так как в обобщенной форме, точное аналитическое выражение функции f получить невозможно, то влияние температуры и фактора времени рассматривается в настоящее время применительно только к частным классам задач. Деление на классы производится как по характеру действия внешних сил так и по типу материалов, а также в зависимости от скорости нагружения.

Наиболее, изучаемыми в механике материалов, являются процессы происходящие при действии медленно изменяющихся (статических) нагрузок.

Скорость изменения этих нагрузок во времени настолько мала, что кинетическая энергия деформируемого тела, составляет незначительную долю от работы внешних сил. Поэтому работа внешних сил превращается только в упругую энергию и в необратимую тепловую энергию, связанную с пластическими деформациями тела.

При статических испытаниях материалов

в различных температурных режимах определяется зависимость механических характеристик материалов от температуры. Эта зависимость характеризует изменения внутрикристаллических и межкристаллических связей, а в некоторых случаях и структурными изменениями материалов. В общем случае с ростом температуры, прочностные характеристики материалов существенно падают. При этом, чем выше температура, тем труднее определить механические характеристики материалов. Происходит это не только потому, что возрастают сложности в технике эксперимента, но также вследствие того, что сама характеристика становится менее определенной.

При статическом нагружении, начиная с некоторых значений температур, фактор времени становится очень существенным. Для разных материалов это явление происходит при совершенно различных температурных режимах. Влияние фактора времени обнаруживается и при нормальных температурах. Для металлов его влияние, из-за незначительности, можно пренебречь. А для органических материалов даже при низких температурах время нагружения имеет существенное значения.

В заключение отметим наиболее важные свойства материалов которые обнаруживаются при их испытаниях. Эти свойства имеют фундаментальное значение при построении физических уравнений механики твердого деформируемого тела.

Упругость - это способность твердого деформируемого тела восстанавливать свою форму и объем после прекращения действия внешних нагрузок.

Пластичность - это свойство твердого деформируемого тела до разрушения необратимо изменять свою форму и объем от действия внешних сил.

Вязкость - это свойство оказывать сопротивление за счет трения происходящего при перемещении элементарных частиц тела относительно друг друга в процессе деформирования. Отметим, что при этом, как показывают результаты экспериментов, сила сопротивления, возникающая за счет внутреннего трения материалов, прямым образом зависит от величины скорости перемещения элементарных частиц относительно друг друга.

Упругость, пластичность и вязкость являются главными физическими свойствами твердого деформируемого тела.

Ползучесть - это явление характеризующееся изменения во времени величин деформаций и напряжений в теле при действии статических нагрузок.

Выносливость - при действии периодически изменяющихся по времени нагрузок, это явление, которое характеризуется чувствительностью и изменениями прочностных свойств материалов в зависимости от числа циклов нагружения.

33



ПРЕДИСЛОВИЕ

Современные базовые учебники по сопротивлению материалов, теории упругости, пластичности [1-3, 5, 7] изложены во внушитель­ных объемах и в основном ориентированы на подробном изложе­нии теории. Это обстоятельство усложняет процесс самостоятель­ного изучения предмета и послужило побудительной причиной подготовки настоящего издания.

В книге в доступной, но достаточно строгой форме изложены основные разделы классического курса сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, которые сопровождаются под­робными примерами расчетов, что несомненно должно облегчить процесс самостоятельного освоения предмета.

Учебник написан на основе использования опыта преподавания на кафедре «Сопротивление материалов и строительная механика» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения.

При подготовке рукописи учебника автор с благодарностью учел замечания рецензентов книги д.т.н., проф., академика РААСН Александрова А.В. и д.ф.-м.н., проф. Власова Б.Ф.доц., а также доц., к.т.н. Кушнаренко Е.М., доц., к.т.н. Серги­енко В.Н

В настоящем издании книги по сравнению с [6] произведена некоторая перекомпоновка материала, устранены выявленные опечатки. В конце книги добавлен раздел где по тематике каждой главы изложены вопросы для самопроверки, а также семейства задач для самостоятельных и контрольных работ. В тексте наиболее важные определения выделены курсивом.

Все замечания и пожелания будут приняты автором с благодарностью. Письма просим направлять по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа» или

125808, Москва, ГСП-47, ул. Часовая, 22/2, РГОТУПС, кафедра «Сопротивление материалов и строительная механика».


1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Задачи и методы сопротивления материалов

Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами со­противления материалов выполняются расчеты, на основании кото­рых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений.

В отличие от теоретической механики сопротивление материа­лов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными яв­ляются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В то же время, вслед­ствие общности основных положений, сопротивление материалов рассматривается как раздел механики твердых деформируемых тел.

В состав механики деформируемых тел входят также такие дис­циплины, как: теория упругости, теория пластичности, теория пол­зучести, теория разрушения и др., рассматривающие, по существу, те же вопросы, что и сопротивление материалов. Различие между сопротивлением материалов и другими теориями механики твердо­го деформируемого тела заключается в подходах к решению задач.

Строгие теории механики деформируемого тела базируются на более точной постановке проблем, в связи с чем, для решения задач приходится применять более сложный математический аппарат и проводить громоздкие вычислительные операции. Вследствие этого возможности применения таких методов в практических задачах ограничены.

В свою очередь, методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой, получать при­емлемые по точности результаты расчетов.

При этом главной задачей курса является формирование зна­ний для применения математического аппарата при решении при­кладных задач, осмысления полученных численных результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений. То есть данный предмет является базовым для формирования ин­женерного мышления и подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям.


1.2. Реальный объект и расчетная схема

В сопротивлении материалов, как и во всякой отрасли естест­вознания, исследование вопроса о прочности или жесткости ре­ального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Расчетная схема конструкции - его упрощенная схема, освобожденная от не­существенных в данной задаче особенностей. Выбор расчетной схе­мы начинается со схематизации свойств материалов сооружения. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых суще­ственно превышают не только межатомные расстояния, но и раз­меры кристаллических зерен.

С понятием однородности тесно связано понятие сплошнос­ти среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит в теле конструкции нет пустот .

Под действием внешних сил реальное тело меняет свои геомет­рические размеры. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструк­ций абсолютно упругий.

Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. пред­полагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристал­лов, принимается, что материал изотропен.

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геомет­рию реального объекта. Основным упрощающим приемом в сопро­тивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схемам бруса (стержня) или оболочки. Как известно, любое тело в пространстве характеризуется тремя измерениями. Брусом называется геометрический объект, одно из измерений которого (длина) много больше двух других. Геометрически брус может быть образован путем перемеще­ния плоской фигуры вдоль некоторой кривой, как это показано на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Эта кривая называется осью бруса, а плоская замкнутая фигура, распола­гающая свой центр тяжести на оси бруса и нормальная к ней, называется его поперечным сечением. Брус может иметь как постоянное, так и переменное поперечное сечение. Многие сложные конструкции на практике рассматриваются как комбинации элементов, имеющих форму бру­са, поэтому в настоящей книге преимущественно рассматриваются методы расчета бруса как основного геометрического объекта изучения науки со­противления материалов. Второй основной геометрической фор­мой, рассматриваемой в сопротивлении материалов, является обо­лочка, под которой подразумевается тело, у которого одно из измерений (толщина) намного меньше, чем два других.

Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к ко­торым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и дру­гое.


1.3. Внешние и внутренние силы.

Метод сечений


Силы являются мерилом механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на нее заменяется силами, которые на­зываются внешними. Внешние силы, действующие на тело, мож­но разделить на активные (независимые) и реактивные. Реак­тивные усилия возникают в связях, наложенных на тело, и опреде­ляются действующими на тело активными усилиями.

По способу приложения внешние силы делятся на объемные и поверхностные.

Объемные силы распределены по всему объему рассматривае­мого тела и приложены к каждой его частице. В частности, к объ­емным силам относятся собственный вес сооружения, магнитное притяжение или силы инерции. Единицей измерения объемных

сил является сила, отнесенная к единице объема - кН/м3 .

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом непосредственного контактного взаимодействия рас­сматриваемого объекта с окружающими телами. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные нагрузки под­разделяются на сосредоточенные и распределенные. К первым от­носятся нагрузки, реальная площадь приложения которых несоиз­меримо меньше полной площади поверхности тела (например, воз­действие колонн на фундаментную плиту достаточно больших раз­меров можно рассматривать как действие на нее сосредоточенных усилий). Если же площадь приложения нагрузки сопоставима с площадью поверхности тела, то такая нагрузка рассматривается как распределенная. Сосредоточенные усилия измеряются в кН, а рас­пределенные - кН/м2.

Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмоле­кулярного воздействия.

Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений, суть которого заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.

Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис. 1.2, а).

Рис. 1.2

Пусть к нему приложена некоторая система внешних сил Р1, Р2, Р3,..., Рn , удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при дейст­вии указанных внешних сил тело находится в состоянии равнове­сия.

Если рассечь брус сечением А на две части и правую отбросить, то, т.к. связи между частями тела устранены, необходимо действие правой (отброшенной) части на левую заменить некоей системой внутренних сил (PА ), действующей в сечении А (рис. 1.2, б).

Обозначая через Pлев и Рправ суммы внешних сил, приложен­ных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что

Pлев + Рправ = 0 (1.1)

для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соот­ношения:

Рлев + PA = 0; Рправ - PA = 0. (1.2)

Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил РА в сечении А может определяться с равным успе­хом из условий равновесия либо левой, либо правой частей рассе­ченного тела. В этом суть метода сечений.

Внутренние усилия должны быть так распределены по сече­нию, чтобы деформированные поверхности сечения А при совме­щении правой и левой частей тела в точности совпадали. Это тре­бование в механике твердого деформируемого тела носит название условия неразрывности деформаций.

Воспользуемся правилами статики и приведем систему внут­ренних сил РА к центру тяжести сечения А в соответствии с прави­лами теоретической механики. В результате получим главный век­тор сил

и главный вектор момента
(рис. 1.3). Далее выбира­ем декартову систему координат xyz с началом координат, совпада­ющим с центром тяжести сечения А. Ось z направим по нормали к сечению, а оси x и y расположим в плоскости сечения. Спроекти­ровав главный вектор сил
и главный момент
на координат­ные оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы Nz , Qx , Qy и три момента Mz , Mx , My , называемых внутренними силовы­ми факторами в сечении бруса.

Составляющая Nz называется нормальной, или продольной си­лой в сечении. Силы Qx и Qy называются поперечными усилиями. Момент Mz называется крутящим моментом, а моменты Mx и My -изгибающими моментами относительно осей x и y, соответственно.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых

факторов в сечении определяются из шести уравнений равновесия,

которые могут быть составлены для отсеченной части.

Пусть R*, M* - результирующая сила и результирующий момент действующие на отсеченной части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид:

(1.3)

Последние два векторные уравнения равновесия дают шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовых осях координат:

(1.4)

которые в общем случае составляют замкнутую систему алгебраических уравнений относительно шести неизвестных внутренних усилий: Qx, Qy, Nz, Mx, My, Mz.

Следовательно, если полная система внешних сил известна, то по методу сечений, всегда можно определить все внутренние усилия действующих в произвольно взятом сечении тела. Данное положение является основополагающим обстоятельством в механике твердого деформируемого тела.

В общем случае в сечении могут иметь место все шесть силовых факторов. Однако достаточно часто на практике встречаются случаи, когда некоторые внутренние усилия отсутствуют - такие виды нагружения бруса получили специальные названия (табл. 1).


Рис. 1.3

Сопротивления, при которых в поперечном сечении бруса дей­ствует одно внутреннее усилие, условно называются простыми. При одновременном действии в сечении бруса двух и более усилий сопротивление бруса называется сложным.

В заключение заметим, что при выполнении практических рас­четов, для наглядности, как правило, определяются графики функ­ций внутренних силовых факторов относительно координатной оси, направленной вдоль продольной оси стержня. Графики изме­нения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называ­ются эпюрами.


Таблица 1

Простейшие случаи сопротивления

Вид напряженного состояния Nz Qx Qy Mz Mx My
Растяжение/сжатие + 0 0 0 0 0
Кручение 0 0 0 + 0 0
Чистый изгиб относительно оси х 0 0 0 0 + 0
Чистый изгиб относительно оси у 0 0 0 0 0 +
Поперечный изгиб относительно оси х 0 0 + 0 + 0
Поперечный изгиб относительно оси у 0 + 0 0 0 +

Примечание: + означает наличие усилия, 0 - его отсутствие.

1.4. Напряжения

В окрестности произвольной точки К, принадлежащей сечению А некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку DF, в пределах которой действует внутреннее усилие D

(рис. 1.4, а). Векторная величина

(1.5)

называется полным напряжением в точке К. Проекция вектора полного напряжения

на нормаль к данной площадке обознача­ется через s и называется нормальным напряжением.

Рис. 1.4

Проекции вектора

на перпендикулярные оси в плоскости площадки (рис. 1.4, б) называются касательными напряже­ниями по направлению соответствующих осей и обозначаются tґ и tґґ. Если через ту же самую точку К провести другую площадку, то, в общем случае будем иметь другое полное напряжение. Совокуп­ность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

1.5. Перемещения и деформации

Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою гео­метрическую форму, а точки тела неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор

, имеющий свое начало в точке А недефор­мированного состояния, а конец в т.
деформированного состоя­ния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 1.5, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.

Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В его недеформиро­ванного состояния, расположенные на расстоянии S друг от друга (рис. 1.5, б).


Рис. 1.5

Пусть в результате изменения формы тела эти точки перемес­тились в положение Аў и Вў, соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину DS и составило S + DS. Величина

(1.6)

называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей xyz, то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы ex , ey , ez .

Линейные деформации ex , ey , ez характеризуют изменения объема тела в процессе деформирования, а формоизменения тела - угловыми деформациями. Для их определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрез­ками ОD и ОС (рис. 1.5, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое значение DўOўCў. Величина

(Р DOC - Р DўOўCў) = g (1.7)

называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плос­кости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются gxy , gxz , gyz .

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформиро­ванное состояние в точке.

1.6. Закон Гука и принцип независимости
действия сил

Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведени­ем деформируемых тел показывают, что в определенных диапазо­нах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Гуком и носит название закона Гука.

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взя­той точки А (рис. 1.5, а) нагруженного тела по некоторому направ­лению, например, по оси x, а может быть выражено следующим образом:

u = dx P, (1.8)

где Р - сила, под действием которой происходит перемещение u; dxЧ-  коэффициент пропорциональности между силой и перемеще­нием.

Очевидно, что коэффициент dx зависит от физико-механиче­ских свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей си­стемы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную за­висимость между напряжениями и деформациями, а не между си­лой и перемещением. Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физико-механические характеристики материала и уже не связаны с геометрическими особенностями си­-

стемы в целом.

Системы, для которых соблюдается условие пропорционально­сти между перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе прило­жено несколько сил, то можно определить внутренние силы, на­пряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдель­ности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.

2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1. Внутренние силы и напряжения

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень длиной l и площадью поперечного сечения F, на двух концах которого прило­жены две равные по величине и противоположно направленные центральные продольные силы Р (рис. 2.1, а). Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось z направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z (0 Ј z Ј l) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.1, б), приходим к следующему уравнению:

P + Nz = 0,

откуда следует, что

Nz = P = const.

Примем для Nz следующее правило знаков. Если Nz направлена от сечения, т.е. вызывает положительную деформацию (растяже­ние), то она считается положительной. В обратном случае - отри­цательной.


Рис. 2.1

Нормальная сила Nz приложена в центре тяжести сечения, яв­ляется равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответст­вии с этим, определяется следующим образом:

.

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нор­мальных s напряжений в поперечных сечениях стержня. Для этого обратимся к анализу характера его деформирования.

Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямо­угольную сетку (рис. 2.1, б), то после нагружения поперечные ли­нии а-а, b-b и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что по­перечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений, введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские сечения до деформации остаются плоскими и после деформации.

Значит, все продольные волокна стержня находятся в одина­ковых условиях, а следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и рав­ны

,

где F - площадь поперечного сечения стержня.

Высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения пло­щади поперечного сечения (рис. 2.1, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напря­женного состояния и формулируемый следующим образом: осо­бенности приложения внешних нагрузок проявля­ются, как правило, на расстояниях, не превыша­ющих характерных размеров поперечного сечения стержня.

2.2. Удлинение стержня и закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим - свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 2.2). До нагружения стержня его длина равнялась l -после нагружения она стала равной l + Dl (рис. 2.2). Величину Dl называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.2

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация e остается одной и той же по длине стержня и равной

. (2.1)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения не­обходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.2). При растяжении он увеличит свою длину на величину D dz и его деформация составит:

. (2.2)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде:

s = E e . (2.3)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода. Из совместного рассмотрения уравнений (2.2) и (2.3) получим:

,

откуда с учетом того, что

и
,

окончательно получим:

. (2.4)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение F = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.4) получим

. (2.5)

При решении многих практических задач возникает необходи­мость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механи­ческих нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные темпера­турным воздействием. В этом случае пользуются принципом неза­висимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

, (2.6)

где a - коэффициент температурного расширения материала; t -пе­репад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим:

. (2.7)

2.3. Пример расчета (задача № 1)

Для стального бруса квадратного сечения сжатого силой Р с учетом собственного веса при исходных данных приведенных ниже, требу­ется (рис. 2.3, а):

1. Определить количество расчетных участков;

2. Составить аналитические выражения для нормальных сил Nz , нормальных напряжений sz и вычислить их значения для каж­дого из участков с учетом их собственных весов;

3. Построить эпюры Nz и sz ;

4. Вычислить перемещение верхнего конца колонны от дейст­вия силы Р и собственного веса.

Исходные данные: Р = 20 кН; l1 = l2 = l3 = 0,4 м; модуль упругости стали Е = 2,1Ч108 кН/м2; F1 = 4Ч10-2 м2; F2 = 9Ч10-2 м2; F3 = 25Ч10-2 м2; g = 78 кН/м3 .

Решение

1. Определение количества участков. Так как нор­мальная сила Nz зависит от величин внешних сил, в данном случае включающих в себя и собственный вес колонны, а последний, в свою очередь, от размеров попе­речного сечения Fi и объемного веса g, то границами участков следует назначать те сечения, в которых приложены внешние сосредоточенные силы и где происходит скачкообразное изменение площади попе­речного сечения или объемного веса материалов конструкций.

Исходя из вышесказанного, учитывая g = const, брус будет иметь три участка:

1 участок - от 0 до сечения В (где приложена сила Р);

2 участок - от сечения В до сечения С;

3 участок - от сечения С до сечения D.

Следует заметить, что при определении нормальных напряже­ний используются те же участки.

Составить аналитические выражения для нор­мальных сил Nz, нормальных напряжений sz и вычис­лить их значения для каждого из участков, с учетом их собственных весов. Для этого воспользуемся методом сече­ний.

1 участок (0 - В) 0 Ј z1 Ј 0,4 м.

Проведя сечение 1 - 1 на расстоянии z1 от начала координат (точка 0), рассмотрим равновесие верхней части. При этом, к рас­сматриваемой части прикладываются в центре ее тяжести собствен­ный вес и нормальная сила

, заменяющую действие отброшен­ной нижней части бруса на верхнюю рассматриваемую (рис. 2.3, б). Составив уравнение равновесия рассматриваемой верхней части ко­лонны по оси z , получим:

.

В свою очередь, собственный вес верхней части колонны оп­ределяется следующим образом:

 кН.

Тогда выражение для нормальной силы будет иметь вид:

 кН,

а для нормальных напряжений

:

 кН/м2.

Так как,

и
линейно зависят от z1 , то для построения их графиков (эпюр) достаточно определить значения этих величин на границах участка, т.е.

при z1 = 0

при z1 = 0,4 м
кН;

кН/м2.

Знаки минус при

и
указывают на то, что принятое на­правление для этих величин не совпадает с действительным, т. к. в принятой схеме продольная сила не растягивает, а сжимает первый участок.

2 участок (В - С) 0,4 м Ј z2 Ј 0,8 м.

Аналогично предыдущему проводим сечение 2-2 на расстоянии z2 (рис. 2.3, в). Для верхней части составляем уравнение равновесия еz = 0 .

В это уравнение войдут: собственный вес первого участка Р1 = = g F1 l1; собственный вес отсеченной части второго участка

; сосредоточенная сила Р = 20 кН, а также сила
.

Тогда уравнение равновесия примет вид:

Р1 + 

 + P + 
 = 0,

отсюда

 = -P - g F1 l1 - 
 = -20 - 78Ч4Ч10-2Ч0,4 - 78Ч9Ч10-2 (z2 -0,4) = 
  = -7,02Ч(z2 + 2,62678) кН.

Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для нормального напряжения может быть запи­сано таким образом:

кН/м2.

Вычислим значения ординат

и
в граничных сечениях второго участка:

при z2 = 0,4 м
кН,

кН/м2;

при z2 = 0,8 м
кН,

кН/м2.

3 участок (С - D) 0,8 м Ј z3 Ј 1,2 м.

Составив уравнение равновесия еz = 0 (рис. 2.3, г) для верхней части бруса, получим:

Р1 + Р2 + 

 + P + 
 = 0,

откуда

= -P - g F1 l1 - g F2 l2 - g F3 (z3 - l1 - l2)
= -20 - 78Ч4Ч10-2Ч0,4 -
- 78Ч9Ч10-2 Ч0,4 - 78Ч25Ч10-2 (z3 - 0,8) = -19,5Ч(z3 + 0,43364) кН.

Выражение для напряжения:

кН/м2.

Вычислим значения ординат

и
в граничных сечениях третьего участка:

при z3 = 0,8 м
(0,8) = -19,5 (0,8 + 0,43364) = -24,056 кН,

(0,8) = -78 (0,8 + 0,43364) = -96,224кН/м2;

при z3 = 1,2 м
(1,2) = -19,5 (1,2 + 0,43364) = -31,856 кН,

кН/м2.

3. Построение эпюр Nz и sz По причине линейной зависимости нормальной силы и напряжений от координаты z для построения их эпюр достаточно значений Nz и sz в граничных сечениях каждого из участков (см. рис. 2.3, д, е). Необходимым условием правильности построения этих графиков является выпол­нение следующих требований:

- скачок в эпюре Nz должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть равным по величине значению этой силы;

- скачки в эпюре sz должны совпадать с точками приложения внешней силы Р и изменения площади поперечного сечения ко­лонны.

После анализа полученных эпюр (рис. 2.3, д, е) легко можно убедиться, что построения выполнены правильно.

4. Вычисление перемещения верхнего конца ко­лонны от действия всех сил. Полное перемещение со­гласно закону Гука может быть вычислено по формуле

.

В данном случае это выражение принимает следующий вид:

Так как величины определенных интегралов равны площадям, очерченным соответствующими подынтегральными функциями, то для вычисления перемещений Dli достаточно вычислить площади эпюры Nz на каждом из этих участков и разделить их на Ei Fi . Следовательно,

м.

2.4. Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K. (2.8)

При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

А = U. (2.9)

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку Dl, ниже показан график изменения величины удлинения стержня Dl в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня Dl. Дадим некоторое приращение силе DР - соответству­ющее приращение удлинения составит d (Dl ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (P + d P)Чd (D l ) = PЧd (D l ) + d P Ч d (D l ) , (2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = PЧd (D l ). (2.11)

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка - перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении Dl будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е.

А = 0,5 РЧDl . (2.12)

В свою очередь, когда напряжения s и деформации e распреде­лены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде:

. (2.13)

Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P = s F и s = Е e, то

, (2.14)

т.е. подтверждена справедливость (2.9).

С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const из (2.14) получим:

. (2.15)

2.5. Статически определимые и статически
неопределимые системы

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.


25



ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие .............................................................................................


Введение .............................................................................................


Задачи и методы сопротивления материалов ...........................

Реальный объект и расчетная схема...........................................

Внешние и внутренние силы. Метод сечений............................

Напряжения...................................................................................

Перемещения и деформации........................................................

Закон Гука и принцип независимости действия сил................


Растяжение и сжатие ........................................................................


Внутренние силы и напряжения..................................................

Удлинение стержня и закон Гука................................................

Пример расчета (задача № 1)......................................................

Потенциальная энергия деформации.........................................

Статически определимые и статически

неопределимые системы............................................................... 2.6. Напряженное и деформированное состояние