Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре (стр. 1 из 4)

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовая работа

“Моделирование распределения потенциала

в МДП-структуре”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель : старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1998г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения

уравнения Пуассона и для граничных условий

раздела сред

Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10

Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16

ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

Математическая модель

Пустьj(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:

d²j₊d²j_{= 0}

dx² dy²

а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона:

d²j₊ d²j₌₀

dx² dy²

где

q - элементарный заряд e;

e_nn-диэлектрическая проницаемость кремния;

N_d(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;

N_a(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;

e₀ -диэлектрическая постоянная

₀_D_E

_{B G}

^{C F}

_{A H}

На контактах прибора задано условие Дирихле:

j| _BC = Uu

j| _DE = Uз

j| _FG = Uc

j| _AH = Un

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры

относительно линий лежащих на отрезках AB иGH:

dj₌₀dj_{= 0}

dy _AB dy _GH

На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана

означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического

тока:

dj₌₀dj_{= 0}

dy _DC dy _EF

На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие

сопряжения :

j| _-0 = j|₊₀

e_okE_x|_-0 - e_nnE_x|₊₀ = - Q_ss

где Q_ss -плотность поверхностного заряда;

e_ok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;

e_nn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .

Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции беретсябесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводникалибо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывностьпотенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженностипри переходе из одной среды в другую с величиной поверхностногозаряда на границе раздела.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред

Уравнение Пуассона

В области{(x,y) : 0 < x < L_x, 0 < y < L_y } вводится сетка

W={(x,y) : 0 < i < M₁ , 0 < j < M₂}

x₀ =0 , y₀=0, x_M₁ = L_x , y_M₂ = L_y

x_i+1 = x_i + h_i+1, y_j+1 = y_j+ r_j+1

i = 0,...,M₁-1 j = 0,...,M₂-1

Потоковые точки:

x_{i+ ½} = x_i₊h_i+1 , i = 0,1,...,M₁-1

y_{j+ ½} = y_j₊r_j+1 , j = 0,1,...,M₂-1

Обозначим :

U(x_i,y_j) = U_ij

I(x_i+½,y_j) = I_i+½,j

I(x_i,y_j+½) = I_i,j+½

Проинтегрируем уравнение Пуассона:

Dj = - q (N_d + N_a)

e₀e_n

Q(x,y)

по области:

V_ij = { (x,y) : x_{i- ½}< x < x_{i+ ½} , y_{j- ½}< y < y_{j+ ½} }

x_{i+ ½}y_{j+ ½} x_{i+ ½}y_{j+ ½}

ò òDj dxdy = ò òQ(x,y)dxdy

x_{i- ½}y_{j- ½}x_{i- ½} y_{j- ½}

Отсюда:

y_j+½ x_i+½

ò(Ex(xi+½,y) - Ex(xi-½,y) )dx + ò(Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½))dy=

y_j-½ x_i-½

x_{i+ ½}y_{j+ ½}

= ò òQ(x,y)dxdy

_xi-_½ y_{j- ½}

Здесь:

E_x(x,y) = - dj(x,y)

dx (*)

E_y(x,y) = - dj(x,y)

x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.

Предположим при

y_j-½< y < y_{j- ½} E_x(x_{i +}_½,y_j) = E_{i+ ½ ,j} = const

y_j-½< y < y_{j- ½} Ex(x_{i - ½},y_j) = E_{i- ½ ,j} = const (**)

x_i-½< x <x_{i+ ½} Ey(x_i,y_{j + ½}) = E_{i,j+ ½} = const

x_i-½< x <x_{i+ ½} Ey(x_i,y_j_-½) = E_i,j_{- ½} = const

x_{i- ½}< x < x_{i+ ½}

y_{j- ½}< y < y_{j+ ½} -Q(x,y) = Q_ij = const

Тогда

(E_x)_{i+ ½ ,j} - (E_x)_{i -½ ,j} r^*_j + (E_y)_{ij+ ½} - (E_y)_{ij- ½} h^*_i = Q_ijh^*_ir^*_j

где h^*_i = h_i- h_i+1 , r^*_j = r_j - r_j+1

2 2

Теперь Е_i+_½_,j выражаем через значение j(x,y) в узлах сетки:

x_i+1

òEx(x,y_j)dx = - j_i+1,j -j_ij

x_i

из (**) при y=y_j:

(E_x)_{i+ ½ ,j} = - j_i+1j - j_ij

h_i+1

Анологично :

(E_y)_{i,j+ ½}= -j_ij+1 - j_ij

r_j+1

Отсюда:

(Dj)_ij = 1 j _i+1,j - j _ij - j _{i j} - j _i-1,j + 1j _{i j+1} - j _ij - j _ij - j _ij-1 =