Цифровая обработка сигналов (стр. 7 из 11)

1. Симметричные фильтры.

H(0) № 0, j(w) = -

wT (3.3)

а. Если N - нечетное, то АЧХ - четная функция

H(w) = а₀ + 2

а_m cos mwT (3.4)

Применяется при условии H(0,5w_д) № 0

б. Если N - четное, то АЧХ - нечетная функция

H(w) = 2

а_m cos [(m - 0,5) wT] (3.5)

Применяется при условии H(0,5w_д) = 0

2. Антисимметричные фильтры

H(0) = 0, j(w) =

wT (3.6)

а. Если N - нечетное, то АЧХ - нечетная функция

H(w) = 2

а_m sin m wT (3.7)

Применяется при условии H(0,5w_д) = 0

б. Если N - четное, то АЧХ - четная функция

H(w) = 2

а_m sin [(m - 0,5) wT] (3.8)

Применяется при условии H(0,5w_д) № 0

На рис. 3.7, а, б приведены графики, поясняющие отмеченные выше свойства.

Если требуемая передаточная функция имеет в качестве множителя мнимую единицу, то применяются исключительно антисимметричные фильтры. Например, передаточная функция дифференциатора или интегратора

H(jw) = jw, H(jw) = 1 / jw

В этом случае условия

Н(0) = 0, или H(0,5w_д) = 0, или H(0,5w_д) № 0

при необходимости следует воспроизвести искусственно.

3.5. Расчет ЦФ с линейной фазой. Метод взвешивания.

Расчет фильтров с линейной фазой начинается с выбора типа фильтра (симметричный, антисимметричный) и четности N в соответствии с общими свойствами фильтров с линейной фазой и требуемой АЧХ.

а. Если Н(0) № 0, то фильтр симметричный. Отсюда:

N - нечетное, если H(0,5w_д) № 0

N - четное, если H(0,5w_д) = 0

б. Если Н(0) = 0, то фильтр антисимметричный. Отсюда:

N - нечетное, если H(0,5w_д) = 0

N - четное, если H(0,5w_д) № 0

После выбора типа фильтра и четности N необходимо продолжить требуемую АЧХ на диапазон [0,5w_д;w_д] в соответствие с графиками на Рис. 3.7, а, б. Выбор расчетной формулы для ФЧХ, т.е. (3.3) или (3.6), определяется типом фильтра.

После выполненных процедур расчет фильтра осуществляется по общим правилам расчета не рекурсивных ЦФ.

Пример. Рассчитать ФНЧ с линейной фазой по следующим исходным данным:

ПП ® [0; 200] Гц, переходная область ® [200; 300] Гц.

Решение

Выбираем f_д = 800 Гц. Отсюда после нормирования частот W =

ПП ® [0; 0,25], ПН ® [0,375; 0,5].

Здесь Н(0) № 0, поэтому фильтр симметричный.

H(0,5w_д) = 0, поэтому N - четное.

Следовательно, требуемую АЧХ необходимо продолжить на диапазон [0,5w_д;w_д] нечетным образом (Рис. 3.8, а).

Расчет начинается с выбора величины N.

Пусть N = 8. Отсюда интервал между выборками W₁ =

= 0,125.

Формула для ФЧХ (3.3): j(w) = -

wT . Отсюда

j (W) = -7pW, или для частот выборки j (kW₁) = -7pW₁,

Отсчеты АЧХ - по требуемой АЧХ на графике Рис. 3.8, а.

Следовательно, комплексные частотные отсчеты:

Н(jkW₁) = {1e ^j0; 1e ^-j0,875^p ; 1e ^-j1,75^p ; 0; 0; 0; -1e ^-j5,25^p ; -1e ^-j6,125^p }

Отсюда расчет импульсной характеристики по формуле обр. ДПФ

h (nT) =

H (jkW₁) e ^{j (2}^p^{/N) kn} =

={0,065; -0,165; 0,025; 0,53; 0,53; 0,025; -0,165; 0,065}

что соответствует схеме фильтра на Рис. 3.8, б

Расчетная формула АЧХ такого типа фильтра - (3.5).

Поэтому Н(W) = 1,06 cos pW + 0,05 cos 3pW - 0,33 cos 5pW + 0,13 cos 7pW

Результаты расчета реализованной АЧХ приведены на графике Рис. 3.8, а (штриховая линия).

В окрестности точек разрыва требуемой АЧХ (в данном примере это частоты 0,25 и 0,75) отклонение от нормы реализованных характеристик получается значительным вследствие влияния эффекта Гиббса. Ослабить влияние эффекта Гиббса удается введением весовой функции (метод взвешивания) к импульсной характеристике.

Новая импульсная характеристика формируется по правилу:

h' (nT) = W (nt) * h (nT)

Где W (nT) - весовая функция или "сглаживающее окно".

Находят применение различные типы окон, например "окно" Хэмминга:

W(nT) = 0,54 + 0,46 cos [2p

], (3.9)

где n = 0, 1, 2, ... (N - 1)

Для рассматриваемого примера

W (nT) = {0,08; 0,244; 0,64; 0,96; 0,96; 0,64; 0,244; 0,08}

h' (nT) = {0,005; -0,04; 0,016; 0,51; 0,51; 0,016; -0,04; 0,005}

Отсюда новые коэффициенты фильтра и новая передаточная функция

H'(Z) = 0,005 - 0,04Z^-1 + 0,016Z^-2 + 0,51Z^-3 + 0,51Z^-4 + 0,016Z^-5 - 0,04Z^-6 +

+ 0,005Z^-7

График АЧХ с учетом сглаживающего окна приведен на Рис. 3.9. Расчетная функция получена из формулы для Н'(Z) после подстановки

Z = e^j^w^T = e^j2^p^W.

Сравнивая реализованные АЧХ на Рис. 3.8, а и Рис. 3.9, можно убедиться в улучшении качества аппроксимации требуемой АЧХ при введении "окна".

С ростом N положительный эффект от применения "сглаживающего окна" возрастает.

В рассмотренном примере нормы на отклонение реализованной АЧХ от требуемой не заданы. Если эти нормы не выполняются, то.... (строчка ксерокопии не влезла)

3.6. Метод частотной выборки

Коэффициенты не рекурсивного ЦФ (Рис. 3.2, а) соответствуют отсчетам импульсной характеристики. Схему не рекурсивного ЦФ можно преобразовать таким образом, чтобы коэффициенты фильтра соответствовали отсчетам другой системной характеристики - передаточной функции. Новая схема ЦФ является основой конструирования фильтров по методу частотной выборки.

3.6.1 Схема фильтра.

Схема фильтра формируется по результатам эквивалентных преобразований передаточной функции не рекурсивного ЦФ

H(Z) =

a_nZ^-n

где в соответствии с формулой обратного ДПФ

a_n = h (nT) =

H (jkw₁) e^j(2^p^/N)kn

следовательно

Н(Z) =

H (jkw₁) e^j(2^p^/N)kn Z^-n =

(e^j(2^p^/N)kn Z^-1)ⁿ

Применяя здесь формулу суммы N первых членов геометрической прогрессии

получаем

H(Z) =

= P(Z)

(3.10)

где

P(Z) = 1 - dZ^-N, F_k(Z) = 1 / (1 - b_kZ^-1), d = e^j2^p^k, b_k = e ^j2^p^k/N (3.11)

Схема фильтра, соответствующего (3.10), приведена на Рис. 3.10, а. Схемы звеньев фильтра, соответствующих (3.11), приведены на Рис. 3.10, б.

Схема фильтра на рис. 3.10 применяется с учетом поправок, обусловленных особенностями расположения нулей и полюсов передаточной функции.

Нули и полюсы H(Z) (3.10), т.е. корни уравнений

1- e^j2^p^k Z^-N = 0, 1 - e ^j2^p^k/N Z^-1 = 0

Расположены на единичной окружности плоскости Z в точках

Z_k = e ^j2^p^k/N

и взаимно компенсируется. Но компенсация получается неполной по причине конечной разрядности кодовых слов, что приводит к скачкам частотной характеристики фильтра и, более того, не исключена вероятность самовозбуждения цепи. Поэтому рекомендуется смещать точки Z_k внутрь единичного круга на малую величину, т.е.

Z_k = e ^-^a^T/N e ^j2^p^k/N, гдеaТ < 10^-5

что соответствует коэффициентам фильтра

d = e^-^a^T e^j2^p^k, b_k = e^-^a^T e^j2^p^k/N (3.12)

Небольшая поправка коэффициентов фильтра (3.12) практически не отразится на характеристиках фильтра.

3.6.2 Частотная характеристика фильтра

Частотная характеристика фильтра по методу частотной выборки получается подстановкой

Z = e^j^w^T,

в (3.10). Отсюда, с учетом формулы Эйлера,

H(jw)=

следовательно

(3.13)

что соответствует ряду Котельникова для спектров дискретных сигналов. Таким образом, частотную характеристику не рекурсивного ЦФ можно представить как в форме ряда Фурье, так и в форме ряда Котельникова.

Каждая из отсчетных функций в (3.13)

(3.14)

на частоте w = kw₁ принимает значение частотной выборки H(jkw₁); остальные отсчетные функции на этой частоте обращаются в нуль. На графике Рис. 3.11 показана в качестве примера некоторая АЧХ и ее составляющие - равносмещенные отсчетные функции для случая N=8, где отсчетные функции представлены главным лепестком, кроме модуля отсчетной функции при К=0, которая изображена полностью.