Статистика (стр. 8 из 25)
Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.
Важнейшим условием научного использования средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислять среднюю для разнородных культур.
Математические приемы, используемые в различных разделах статистики, непосредственно связаны с вычислением средних величин.
Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними.
Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по изучаемому признаку).
Виды средних величин.
От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней величины, зависит по какой формуле она будет определятся. Рассмотрим наиболее часто применяемые в статистике виды средних величин:
- среднюю арифметическую;
- среднюю гармоническую;
- среднюю геометрическую;
- среднюю квадратическую.
Для этого введем следующие понятия и обозначения:
Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым признаком, обозначим буквой "х"
, т.е. как сумма вариантов признака, деленная на их число. Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается в совокупности один или равное число раз.
, где fi - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. 
Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.| Возраст рабочего, лет | Число рабочих, чел (fi) | Середина возрастного интервала, лет (xi) |
| 20-30 30-40 40-50 50-60 60 и более | 7 13 48 32 6 | 25 35 45 55 65 |
| Итого | 106 | Х |
Средний возраст рабочих цеха будет равен
лет.Средняя гармоническая величина является преобразованной средней арифметической величиной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей. Она также может быть простой и взвешенной. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле
, т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.Формула средней гармонической взвешенной:
, где Mi=xi*fi (по содержанию).Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических культур на основании следующих данных (таблица 4.2):
Таблица 4.2
Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.
| Культуры | Валовой сбор, ц (Mi) | Урожайность, ц/га (xi) |
| Хлопчатник Сахарная свекла Подсолнечник Льноволокно | 97,2 601,2 46,3 2,6 | 30,4 467,0 11,0 2,9 |
| Итого | 743,3 | Х |
Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь Mi=xi*fi , поэтому
, а средняя урожайность будет равна 
.Средняя геометрическая также может быть простой и взвешенной. Применяется главным образом при нахождении средних коэффициентов роста.
Средняя геометрическая простая находится по формуле
, а средняя геометрическая взвешенная - по формуле 
. Сфера применения этой средней будет рассмотрена в теме "Ряды динамики".Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится осереднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратических функций. Простая средняя квадратическая
, взвешенная 
. Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.Структурные средние.
Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.
Мода - это наиболее часто встречающаяся варианта признака в данной совокупности.
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:
44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;
Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.
В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле
, гдеx0 - нижняя граница модального интервала;
d - величина модального интервала;
f2 - частота модального интервала;
f1 - частота интервала, предшествующая модальному;
f3 - частота интервала, следующая за модальным.
Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4.3)
Таблица 4.3.
Распределение населения РФ по уровню среднедушевого месячного дохода в I-ом полугодии 1995 года
| Среднедушевой месячный доход, руб. | Удельный вес населения, % (f i) | Накопленная частота, % (Si) |
| менее 100 100-300 300-500 500-700 700-900 900 и выше | 2,4 35,5 30,0 15,7 7,7 8,7 | 2,4 37,9 67,9 83,6 91,3 100,0 |
| Всего | 100,0 | Х |
Интервал 100-300 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту (f=35,5). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет равна:
руб.Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.
Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.