Теория вероятности (стр. 3 из 5)

- для зависимых событий.

Пример : Два продавца независимо друг от друга обслуживают покупателей. Вероятность того, что первый продавец сумеет продать товар 0,3, а второй – 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы один из продавцов реализует товар?

Данную задачу можно решить и другим способом, рассматривая события, как независимые совокупности. Тогда вероятность, что первый продавец не сумет продать товар – 0,7, а вероятность того, что второй не сумеет продать товар – 0,8.

Пример : Вероятность покупки мужского костюма посетителем магазина составляет 0,02, галстука – 0,1, а вероятность покупки галстука под приобретенный костюм - 0,3.

Надо определить вероятность покупки покупателями хотя бы одной из этих вещей.

Комбинация теорем сложения и умножения вероятностей выражается в формуле полной вероятности .

Вероятность события Е, которое может произойти только при появлении одного из событий

, составляющих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события Е.

По условию достоверным является появление одного из событий

или
или
или
. По теореме умножения вероятностей:

Но так как все эти события не совместны, вероятность появления одного из них определяется по теореме сложения вероятностей.

Пример : На плодоовощную базу поступило 4 партии картофеля. В первой партии – 95% доля стандартных клубней, во второй – 97%, в третьей – 94%, в четвертой – 91%. При этом доля первой партии в общем объеме поставок – 28%, второй – 31%, третьей – 24%, четвертой – 17%. Определить вероятность того, что магазину, заказавшему товар, достанется стандартная продукция.

Полученный результат характеризует математическое ожидание или вероятность поставки стандартной продукции в магазин. Фактически это долевая средняя, показывающая среднюю долю стандартных клубней в четырех партиях.

7. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

Как уже отмечалось, практически любое утверждение в статистике рассматривается как гипотеза, то есть некоторое предположение о наличии, форме, тесноте взаимосвязей.

Предположим, событие Е наступает только при появлении одного из несовместных событий

, образующих полную группу. Допустим, в результате испытания событие Е произошло, то есть достоверным стало одно из событий
или
или
или
.

Каждое из этих событий рассматривается как гипотетическое и его вероятность как раз определяется по формуле Байеса .

Предыдущий пример : Известно, что в магазин поставлен стандартный картофель. Какова вероятность того, что он из четвертой партии.

Таким образом, только в 16-ти случаях из 100 доставленная в магазин стандартная продукция окажется из четвертой партии.

Применение формулы Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез по результатам испытаний, в следствие которых появилось событие Е.

Достоинство формулы Байеса в том, что она может применяться при отсутствии сведений о числе элементарных исходов, достаточно знать вероятности или частости событий.

8. Независимые события. Биномиальное распределение.

Предположим событие Е во всех случаях имеет одну и ту же вероятность

, тогда вероятность противоположного события будет так же постоянна и может определяться по формуле
.

Такой подход позволяет рассматривать практически любое пространство элементарных событий, как дихотомно е (то есть состоит из противоположных событий).

Допустим, необходимо определить вероятность появления события Е ровно k раз в n независимых испытаниях. В этом случае событие противоположное Е произойдет n-k раз. Отобрать k-элементов из n можно различными способами, каждый из которых несовместное событие, появление которого это результат игры случая.

В математике доказано, что число различных комбинаций из n элементов по k определяется по формуле:

, ! это произведение натурального ряда чисел, каждое из которых больше предыдущего на 1 (начиная с 1).

В соответствии с теоремой умножения вероятностей вероятность появления одной из возможных комбинаций определяется по формуле:

Формула, которая определяет вероятность появления события Е k-раз в n-независимых испытаниях, называется формулой Бернулли . А схема отбора из дихотомной совокупности схемой Бернулли (или схемой возвращаемого шара или схемой повторного отбора).

Пример : Для обслуживания покупателей супермаркета в час пик без очередей должно работать не менее 6 контролеров-кассиров из 8. Вероятность отсутствия одного из работников составляет 0,1. Найти вероятность работы расчетно-кассового узла без очередей.

Поскольку нас устраивает работа 6, 7, 8 кассовых кабин, то вероятность появления одного из этих несовместных событий будет определяться по формуле сложения вероятностей. Каждая из этих вероятностей может определяться по формуле Бернулли.

Таким образом, в 96 случаях из 100 очередей не будет.

Если при фиксированной численности n-повторного отбора из дихотомной совокупности изменять величину k, то полученное распределение вероятности будет называться биномиальным. Поскольку его ординаты представляют собой элементы разложения бинома

.

Число наступления событий в n-независимых испытаниях называется наивероятнейшим , если этому числу соответствует наибольшая вероятность.

При этом если k смешанное число, то в результате выбирается ближайшее к этому смешанному числу, но меньше его, целое число.

В примере с кассирами

.

Математическое ожидание М( k ) числа появления событий Е в n-независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Если перейти от абсолютного числа раз появления события к плотностям распределения вероятностей, то будет равно p.

Дисперсия биномиального распределения

,
- по плотности.

График биномиального распределения зависит от соотношения p и q. Если p равно q и равно 0,5, то распределение симметрично, в противном случае (p≠q) наблюдается асимметрия или скошенность полигона.

Показатель асимметрии биномиального распределения определяется по формуле:

Если

, то высота биномиального распределения соответствует высоте кривой нормального распределения. Доказано, что с увеличением числа испытаний значения
, а биномиальное распределение стремится к нормальному распределению.

9. Вероятность редких событий. Формула Пуассона.

Применение формулы Бернулли сопряжено с расчетами трех факториалов, что при достаточно больших значениях n, k, n-q, осложняет задачу. Поэтому статистики математики разработали ряд примерных методов, заменяющих формулу Бернулли при решении некоторых частных и общих задач.