Число исправных элементов к моменту t+Δt вычислим по формуле
KИ=kP (t+Δt)
Таким образом, число элементов, отказавших за время t+Δt, отнесенное к числу kP(t), выразится разностью
kP (t) - kP (t+Δt)/ kP (t)=1 - P(t+Δt)/P(t) (1)
Если отнести выражение (1) к промежутку времени Δt и перейти к пределу, получим интенсивность отказов элементов
λ (t)=limP (t)- P (t+Δt)/P (t) Δt,
откуда
λ (t) = -1/P(t) d P(t) /d t. (2)
Зная, что
-dP(t) /d t= f(t), λ(t)=f(t) /P(t) (3)
Из выражения (3) следует
λ(t)= - d lnP(t) /dt,
откуда
t
P(t)= ехр - ∫λ(t) dt.
0
Поскольку при нормальном периоде эксплуатации λ(t)=const, получим
P(t)=e- λ t (4)
Приведенные зависимости описывают экспоненциальную (показательную) функцию безотказности элементов в период нормального износа.
Определим среднее время между отказами из выражения (4) :
∞
Тср = ∫ e- λ t d t =1 / λ (5)
0
Подставивив значение (5) в формулу (4), получим
P (t) = e- tl Тср
Указанное распределение тесно связано с пуассоновским распределением числа неисправностей
Pk =( λk /k!) e- λ ,
где k- интересующее число отказов; P k - вероятность поступления ровно k неисправностей.
Для работы по устранению отказов (выполнению заявок) назначается соответствующее число рабочих, чтобы не образовалась бесконечная очередь на выполнение заявок и среднее время обслуживания одной заявки не превышало установленных нормативов.
В теории массового обслуживания различают одно- и многоканальные системы. Если на выполнение поступающих отказов одного вида оборудования назначен один человек, диспетчерская система называется одноканальной, более одного - многоканальной. Любая диспетчерская система характеризуется пропускной способностью. Пропускная способность определяется числом каналов обслуживания и продолжительностью обслуживания одной заявки, которая подчиняется также показательному закону распределения с плотностью γe-γt (γ - среднее число заявок, выполненных за единицу времени). В этом случае вероятность того, что время выполнения заявки t превысит to,
Р (t≥to)= e- γ t
Если процесс обслуживания длится t, но еще не закончен, то вероятность его окончания за интервал времени ∆t
P(t0 ≤ t+Δ t)= γ Δ t
Принципиальные допущения характеристики потока поступающих заявок:
за малые промежутки времени вероятность поступления болеё одной заявки имеет малую величину и ею можно пренебречь - свойство ординарности;
вероятность поступления заявок в диспетчерскую систему зависит не от начала отсчета времени, а только от продолжительности периода - свойство стационарности;
число заявок, поступающих в систему с начала периода, не зависит от того, сколько их поступило до этого момента, - свойство отсутствия последствия.
Влияние оперативности аварийно-диспетчерских служб на безотказность элементов зданий.
Нормальное функционирование здания достигается безотказной работой его систем и элементов. Для оценки большинства конструкций зданий и инженерных систем важен не сам факт прекращения их функционирования, а время, в течение которого элемент здания или инженерная система находится в нерабочем состоянии. Системы, которые не допускают даже кратковременного перерыва в работе, резервируют. Отказавший резервируемый элемент восстанавливают в предельно допустимое время, установленное правилами и нормами технической эксплуатации, чтобы исключить отказ всей системы. Следовательно, отказ систем и элементов зданий влияет на нормальное функционирование зданий только в том случае, если он не устранен в предельно допустимое время. Как в первом, так и во втором случае процесс восстановления работоспособности неисправного элемента равноценен замене отказавшего элемента исправным. Таким образом, аварийные и диспетчерские службы можно рассматривать как резервный элемент любой системы, обслуживаемой ими.
Одним из параметров надежности элементов зданий является, безотказность. Аналогично мерой безотказности диспетчерских систем как резервных элементов является их оперативность. Оперативностью диспетчерских и аварийных служб будем называть вероятность устранения любой неисправности обслуживаемых элементов и систем в течение заданного времени Р(тД). Как увидим далее, это время должно быть в несколько раз меньше предельно допустимого, установленного правилами и нормами технической эксплуатации зданий.
Очевидно, что оперативность аварийно-диспетчерских служб Р(тД) зависит от наличия необходимого числа рабочих s требуемой квалификации и гарантированного числа запасных частей.
Число рабочих рассчитывают так, чтобы не образовывалась бесконечная очередь на выполнение работ по поступающим заявкам и устранение неисправностей с заданной оперативностью.
Система, обладающая вероятностью восстановления Р(тД), будет нормально функционировать за время t при наличии запасных частей в количестве z. Вероятность того, что в системе, имеющей интенсивность отказов λ = Nλ (гдеN -- число элементов в системе; λ- интенсивность отказов данного вида элементов), за время t потребуется ровно z запасных частей, может быть вычислена по формуле Пуассона
Pz(t) =(λt)z e- λt(z!)-1 (z=0,1,2,...,∞).
Если в запасе нет ни одного элемента, т.e z=0, то
Pz(t) = e- λ t = P (t)
Вероятность того, что система будет функционировать безотказно в течение времени t с учетом восстанавливаемости и наличия z запасных частей, вычисляют по формуле
z z
PBz (t) = e- λ t ∑P i (τД)(λ t)i(i!)-1 = P (t) ∑Р(τД) λ ti(i)-1 (1.1)
i=0 i=0
Анализ формулы (1.1) показывает следующее: -
1. Если z=0, Р(τД) ≠ 0, получаем известную формулу для Р(t) вероятности непрерывной работы до первого отказа. Так как
z
PBz (t) = e- λ t ∑ P i(τД)((λ t)i / i!) =e- λ t1=P(t) =e-t/Tcp,
i=0
то в промежутке времени t»ТСр (при отсутствии запасных частей); вероятность безотказной работы системы весьма низкая.
2. Если z> 1, Р(τД) >0, то PB(z) (t) >Р(f), так как сумма
z
∑ P i (τД) (λ t)i (i!)-1.
i=0
всегда больше 1. Ясно, что чем больше z, тем больше вероятность PB(z) (t) по сравнению с Р(t).
Выигрыш работоспособности систем в зависимости от числа запасных частей устанавливают из отношения PBz (t) к P(t):
z
η= PBz (t) / Pz(t) = ∑ P i (τД) (λ t)i (i!)-1.
i=0
Из приведенного выражения следует, что коэффициент выигрыша в значительной степени зависит как от числа запасных частей, так и от степени оперативности ремонтно-эксплуатационных служб Р(τД) и времени эксплуатации t.
3. Если конструкция или система абсолютно неремонтопригодны или отсутствуют службы эксплуатации, система не допускает даже кратковременного перерыва в работе или допустимое время ремонта намного меньше, чем среднее время восстановления, т. е. z=const, а Р(τД)=0, то PBz (t) ≈ e- λ t=P(t), иными словами, если восстанавливаемость низкая, то даже при большом объеме запасных частей не будет повышена надежность элементов зданий.
4. Если z=const, Р(τД) =1 (при автоматическом включении резерва на время отказа основного элемента или допустимое время простоя τД намного больше среднего времени, затраченного на ремонт ТСр), то PBz (t) примет вид
zp
PBz (t) = e- λ t ∑ (λ t)i (i!)-1 (1.2)
i=0
Если заранее задать требуемое значение PBz (t),то по формуле(1.2)
можно определить требуемое число запасных частей z гарантирующее данную вероятность.
5. Р(τД) задана, а z→∞(число запасных частей не ограничено).
∞
Pz(t)= e- λ t ∑ Р(τД) λ ti(i!)-1=e- λ teР(τД)λ t = e-1-Р(τД)t/ТСр
i=0
При определении числа запасных элементов zp на заданное время t исходят из требуемой вероятности безотказной работы за указанный промежуток времени P=PZp(t).
Среднее число запасных частей для данного типа элементов будет соответствовать среднему числу отказов за период, на который рассчитывается гарантированное число запасных частей zср = λt. В этом случае вероятность нормального функционирования системы зависит от наличия запасных частей, вероятность наличия которых в момент отказа равна около 50 %. Поэтому при расчете запасных частей принимается такое их количество, которое обеспечивает заданную вероятность нормального функционирования.
На практике рекомендуется задавать вероятность наличия запасных частей Pzp(t)=0,95...0,98. Время t для расчета zср=λt определяют на основании сравнения транспортных затрат на поставку партий запасных частей для пополнения гарантированного запаса и расходов, связанных с хранением и снижением оборачиваемости материальных средств в расчетный период. Для Москвы рекомендуется принимать t=7 дней, или 21 смена.
Пример. На основании данных диспетчерской службы жилищно-эксплуатационной организации за 1 мес. прошедшего зимнего периода израсходовано для устранения отказов отопительных приборов М-4025 отопительных секций. Число смен в отопительном периоде, за который были израсходованы все секции, ЗОХ3=90. Интенсивность отказа секций λ=25/90=о,27 1/смену.
Требуется рассчитать число отопительных секций, наличие которых на случай появления отказов в отопительных приборах гарантировалось вероятностью PZp =о,95 в течение одной недели t=7X3=21 смена. Гарантированное число запасных частей пополняется еженедельно.
Определяем среднее значение потребности в запасных секциях zср = 0,27Х21=5,8≈6 секций. далее расчет ведем путем последовательных приближений, подбирая такое значение zp при котором удовлетворяется заданная вероятность PZ. Принимаем zp =10. Вычисляем значение PZp при выбранном zp: