Конфликт между гуманистической математикой и классической философией математики является достаточно глубоким, поскольку отражает не только недовольство стагнацией в философии математики, но и попытки радикального отделения философии от математики вообще. Херш говорит, что зачастую нет смысла философствовать по поводу математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в математике, - это деятельность работающих математиков, и поиски философов по поводу того, что такое математика, не имеют отношения к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след.
Ж.К.Рота идет еще дальше и дает объяснение тому факту, что философия пошла по неверному пути вообще, ассоциировав себя с математикой. Философия, подобно математике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков стандарты аргументации у философов оказались весьма различными. “Отношения философии и богини Разума всегда были скорее отношениями вынужденного сожительства, нежели отношениями романтической связи, которая всегда существовала между математикой и богиней Разума” [10]. Далее Рота утверждает, что заключения философов часто диктуются эмоциями и разум в этих заключениях играет лишь вспомогательную роль. А поиски философией окончательного ответа на свои вопросы вылилась в рабскую имитацию математики. Апелляция к математической логике, которая и представляет собой главную основу философии математики, оказалась несостоятельной, потому что логика больше не является частью философии. Математическая логика является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями математики. “Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии” [11].
Итак, в философии математики создалась следующая ситуация. С одной стороны, хотя есть признание стагнации в классической философии математики и даже признание того, что “ничего из этого не работает”, существует ряд направлений, имеющих целью придать философии математики новое дыхание. С другой стороны, есть полное отрицание значимости классической философии математики, обоснованное убеждением, что философская оценка математической деятельности бесплодна: математическая деятельность не имеет в себе скрытого смысла, искомого философией, и сама философия неправильно следует в своих собственных стандартах строгости, на которых основывается философия математики, за этой самой математикой. Ясно, что с классической философией математики что-то не так, но в поисках нового дыхания этой фундаментальной области философии требуется ответить на упреки гуманистической математики. Таким ответом является эпистемологический поворот в исследованиях по основаниям математики и в целом в философии математики.
Следует признать, что в последнее время в философии математики проделана большая работа. Быть может, главным обстоятельством здесь является то, что философия математики есть часть философии и на ней сказываются все те тенденции, которые свойственны всей философии. Философия даже относительно элементарных ветвей математики - это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и истины. Именно это обстоятельство делает исследования в философии математики важным видом философского исследования. Такая тенденция выразилась в эпистемологическом уклоне в философии математики.
Возможны два представления того, что было сделано в философии математики за последнее время. Подлинные события в философии отнюдь не всегда связаны с большими книгами или монументальными проектами. Примером тому может служить ситуация в теории познания, когда статья Э.Гетье объемом лишь в несколько страниц [12] несколько десятков лет назад вызвала шквал публикаций и в значительной степени изменила тематику дискуссий. В философии математики аналогичную роль сыграли две статьи П.Бенацеррафа, которые практически определили направление развития в этой области. Примечательно, что одна статья подняла проблему эпистемологического статуса математических утверждений, а вторая - подняла проблему онтологического статуса математических объектов. Примечательно и то, что обе проблемы заключаются в вызове доминирующей среди работающих математиков философии - платонизму. Исследования последних лет в философии математики были посвящены попыткам ответить на этот вызов. Именно этому кругу вопросов и посвящена данная книга. Фактически, это свод того, что происходило в философии математики в последние два с лишним десятка лет.
Одно из упомянутых выше представлений связано с попыткой увязать новые исследования с традиционными направлениями - логицизмом, формализмом и интуиционизмом, т.е. представить новые направления как реакцию на традиционные. Другое связано непосредственно с эпистемологической тенденцией, вызванной к жизни постановкой двух дилемм П. Бенацеррафом в его работах “Чем могут быть числа” (“What numbers could not be”) и “Математическая истина” (“Mathematical truth”) [13].
Надо отдавать себе отчет в том, что такая попытка заранее обречена на частичный провал. Важнейшим отличием описания того, что собой представляет нынешняя философия математики по сравнению с классической, является почти полная бесполезность устойчивой классификации. В этом отношении ситуация в философии математики похожа на ситуацию в аналитической философии вообще. Дж.Пассмор выразил свое ощущение этой ситуации такими словами: “Буйное, плохо вмещающееся в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах - можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское предприятие? Ответ на этот вопрос - невозможно. Столь много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому полнота больше не представляется разумной амбицией. Более скромное название моей книги, скажем “Некоторые последние философские споры, слишком кратко описанные”, было бы более подходящим названием в современном стиле” [14].
Прекрасной иллюстрацией тех трудностей, которые возникают перед желающим дать четкую классификацию направлений и концепций современной философии математики, является понимание самого основного термина - “реализм”. М.Шапиро дает такую сводку: «Реалист говорит, что “числа существуют”. Антиреалист говорит: “числа не существуют”. Тут страсти нешуточные. Оппонентов часто называют “теологами”, “скептиками” - весьма оскорбительные слова на современном жаргоне. Является хочу понять эти направления как рабочие программы. Реализм может иметь много смыслов. Один - что математические объекты существуют независимо от математиков. Это реализм в онтологии. Другой - что утверждения различных областей математики имеют объективные бивалентные истинностные значения независимо от конвенций, языка и правил математиков и основная часть утверждений компетентных математиков истинна. Это - реализм в истинностных значениях. Нет общего согласия относительно соотношения этих двух видов реализма. Мэдди и Гедель - реалисты в обоих смыслах. Даммит - антиреалист в обоих смыслах. Хелман и Чихара - антиреалисты в онтологии и реалисты в истинностных значениях. Единственный человек - реалист в онтологии и антиреалист в истинностных значениях - это Теннант» [15].
Важность именно эпистемологических рассмотрений хорошо видна из следующего описания ситуации У.Хартом: “Во времена заката чувственных данных и аналитичности эпистемология утратила место центра посткритической философии и вообще современной философии. С подъемом семантики и возрождением онтологии эпистемология находится в закате. Фреге ниспровергнут. Сейчас публика считает более близкими древних, нежели современников. Но все-таки эпистемология заслуживает места в Республике Философия. Причина этого такова: некоторые из глубочайших проблем философии состоят в примирении естественных, но несовместимых онтологий. Нигде такой конфликт не является столь старым, как в философии математики. Платон героически пытался найти правдоподобную эпистемологию для своей теории форм. Платонизм правдоподобен, когда вы мыслите о математической истине, но становится невозможным, когда речь идет о математическом познании. Так что стоит переосмыслить основные проблемы теории познания, коль скоро причинность, холизм и натурализованная эпистемология заняли место чувственных данных и аналитичности. Нашим интеллектуальным долгом является прогресс не просто в математической логике, но и в эпистемологии” [16].
Последняя четверть ХХ в. прошла в поисках согласия по поводу того, в чем состоит ответ на теоретико-познавательную дилемму, поставленную в работе П.Бенацеррафа “Математическая истина”. Дилемма формулируется следующим образом: если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты? Апелляция к познанию чувственных объектов предполагает совершенно определенную концепцию познания - так называемую причинную теорию познания. Можно возразить, что это не единственная теория, и тогда дилемма теряет смысл. Однако можно переформулировать дилемму таким образом, что она не будет опираться на специфическую теорию познания (Филд и Мэдди). Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Поскольку обе возможности не выглядят привлекательными, предпринимались различные попытки разрешить дилемму. В частности, есть согласие по поводу того, что можно провести “онтологическую разрядку”, при которой не надо будет жертвовать стандартной математикой.