Так, из данных, представленных в первом столбце таблицы 1, следует, что оптимальным решением при j1*j2*1 (т. е. при P1*P2*1) является довольно очевидное - l1*1, l2*1. Однако на практике, как правило, действия заемщиков по соблюдению условий кредитных сделок имеют рандомизированный (случайный) характер, то есть 0<Pj<1, j*1,2. В этих условиях кредитор не может исключить из рассмотрения ни одну группу действий заемщиков из четырех возможных и, следовательно, использовать для принятия решений таблицу 1. Доступная ему при этом информация (вероятности Pj, а также размеры величин возможной прибыли sj и убытков cj, j*1,2) дает возможность определить лишь средние значения последствий принимаемых им решений:
е(l1,l2)=P1P2 (l1s1+l2s2)+P1 (1*P2) (l1s1*l2c2)+(1*P1) P2
(l2s2-l1c1)-(1-P1) (1*P2) (l1c1+l2c2), l1, l2=0,1,
К(l1, l2)=Р1P2 ([1*l1] s1+[1-l2] s2)+P1(1*P2)
([1*l1]s1+l2c2)+(1-P1)P2([1*l2]s2+l1c1)+(1-P1) (1*P2)
(l1c1+l2c2), l1, l2=0,1,
где е(l1, l2) - средняя прибыль, зависящая от решений кредитора l1, l2 и рассчитываемая для каждой из четырех возможных комбинаций этих решений; К (l1, l2) - рассчитываемый средний убыток, определяемый решениями кредитора l1 и l2.
Сущность вычисляемого значения средней прибыли поясним с использованием численных значений рассмотренных величин. Пусть в базе данных кредитных сделок имеется информация о результатах выдачи кредитов заемщикам классов k1 и k2, из которой следует, что заемщики обоих классов в 100 случаях выдачи кредитов выполняют условия кредитной сделки 90 раз. Согласно выражению, приведенному выше, это означает, что оценки вероятностей возврата кредита в срок заемщиками n1 и n2 равны P*1=P*2=90/100=0,9.
Предположим, что кредитор принял решение о заключении кредитных сделок с обоими заемщиками. Тогда с учетом полученных значений вероятностей возможных действий заемщиков можно ожидать, что в 100 подобных случаях кредит будет возвращен обоими заемщиками примерно 100 P1Р2*81 раз; только первым заемщиком 100*P1 (1* P2)*9 раз; только вторым заемщиком также 100*(1*P1) P2*9 раз и вообще не будет возвращен обоими заемщиками 100*(1*P1) (1*P2)*1 раз.
Рассмотрим последствия перечисленных действий.
При возвращении кредита обоими заемщиками банк получит прибыль s1+s2 81 раз, то есть от этих действий заемщиков суммарная прибыль в 100 случаях выдачи кредита составит величину 81 (s1+s2). При возвращении кредита только первым заемщиком банк получит прибыль s1-c2 9 раз, то есть от этих действий заемщиков суммарная прибыль банка в 100 случаях выдачи кредитов составит величину 9 (s2 * c2). Аналогично этому можно получить, что при возвращении кредита только вторым заемщиком суммарная прибыль составит величину 9 (s2 * c1). Несоблюдение условий сделки обоими заемщиками приведет к отрицательной прибыли (убытку) - (c1+c2) 1 раз, то есть суммарная прибыль от таких действий заемщиков в указанных 100 случаях будет равна - 1 (c1+c2).
Таким образом, общая суммарная прибыль, определяемая результатами выдачи кредита обоим заемщикам 100 раз, составит величину:
S(l1=1,l2=1)=81(s1+s2)+9(s1-c2)+9(s2-c1)-1(c1+c2).
Такой же результат кредитор получил бы при условии, что в каждом случае прибыль составляла величину:
А(l1=1, l2=1)=S(l1=1, l2=1)/100=0,81(s1+s2)+0,09
(s1-c2)+0,09(s2-c1)-0,01(c1+c2).
Сопоставив приведенное выражение с выражением для е (l1, l2) при l1=l2=1 и приняв во внимание то, что цифры перед скобками получены в результате выполнения операций P1P2 , P1 (1-P2), (1-P1)P2 и (1-Р1) (1-Р2), нетрудно заметить, что значение А (l1, l2), определяющее итоговую прибыль кредитора, равно величине средней прибыли при принятии решений l1 и l2. Исходя из этого можно заключить, что среднее значение прибыли е (l1, l2), по существу, определяет итоговый положительный результат, который получит кредитор при выборе решений l1 и l2. Аналогичный смысл имеет и значение среднего убытка К(l1, l2), которое до заключения сделок характеризует итоговый отрицательный результат от принятия решений l1 и l2.
Таким образом, средние значения прибыли и убытков позволяют кредитору количественно оценить возможные последствия своих решений в той ситуации, когда действия заемщиков по соблюдению условий сделки носят случайный характер. Поэтому конкретная величина среднего убытка К (l1, l2) определяет размеры банковского риска при принятии кредитором решения l1, l2. Иными словами, вычисляемый средний убыток как функция переменных l1, l2=0,1 и является оценкой банковского риска, который имеет место при принятии соответствующего решения относительно предлагаемых сделок. Сравнивая между собой конкретные рассчитанные до выдачи кредитов значения средней прибыли или убытков для различных возможных решений, кредитор может выбрать такое решение l1*g , l2*h, g,h*0,1, которое обеспечит ему в результате заключения некоторого числа подобных сделок максимальное значение прибыли или, что то же самое, минимум среднего убытка, то есть минимум банковского риска (соответствие оптимального решения как минимуму банковского риска, так и максимуму средней прибыли будет доказано ниже).
Полученный результат соответствует основным положениям теории статистических решений и распространяется на случай, когда в банк обращается N заемщиков. Однако повторение приведенных выше выкладок для значительного числа N довольно громоздко. Это объясняется тем, что при увеличении числа заемщиков существенно возрастает число возможных решений кредитора. Так, при рассмотрении условий сделок с N=10 заемщиками кредитор должен выбрать одно из 1024 решений и столько же действий возможно со стороны заемщиков. Поэтому приведем без вывода выражение, позволяющее на основе ЭВМ выбирать оптимальную стратегию выдачи кредитов для произвольного числа N заемщиков. Это выражение имеет вид:
[l1*, l2*,...,lN*] = maх [[P1, 1-P1] ¤ [P2, 1-P2] ¤ ... *
[PN ,1-PN]] * **l1s1, -l1c1] * [l2s2,- l2c2] * ... *
N N
[lNsN,- lNcN]]т- H [F-* ljsj] * sj,
j=1 j=1
где [l1*,l2*,...,lN*] - вектор оптимальных решений кредитора (оптимальная стратегия выдачи кредитов); L - множество возможных состояний вектора [l1, l2,..., lN], число которых равно 2N; ¤ и * символы прямого умножения и сложения матриц [4] [Рj, 1 - Рj], [lj sj, - ljcj], 1<J<J; [А]т - символ транспонирования матрицы А; H(х)=0 при х>0, H(х)=1 при х<0 - асимметричная единичная функция; F - сумма средств, выделенная банком для выдачи кредитов; sj, 1<J<J - размер cсужаемой стоимости, на получение которой претендует заемщик nj. Первое слагаемое в приведенном выражении определяет значение средней прибыли е(l1,...,lN), а наличие второго слагаемого в этом выражении связано с тем, что кредитор не может заключать договоры на большую сумму средств, чем та, которой он располагает.
Покажем, что решение, принимаемое в соответствии с рассматриваемым выражением, обеспечивает не только максимум средней прибыли, но и минимум средних убытков, то есть минимум банковского риска. Значение среднего убытка для случаев N заемщиков определяется выражением:
К(l1,...,lN)= [ [Р1,1-P1] ¤ [P2,1-P2] ¤ ... ¤ [PN,1 - PN]
* [(1-l1)s1,l1c1)] * [(1-l2)s2, l2c2] * ... * [(1-lN)sN,lN cN],
перегруппировав члены которого можно получить, что величина К (l1,...,lN) образуется разностью
N
К(l1,..., lN) =* Pjsj- е (l1,..., lN).
j=1
Первый член правой части представленной формулы является постоянной величиной и не зависит от вектора принимаемых решений l1,.., lN. Поэтому средний убыток К (l1,...,lN) будет тем меньше, чем больше значение величины средней прибыли e (l1,..., lN). Это заключение подтверждает вывод о том, что решение, обеспечивающее максимум средней прибыли, кроме того является оптимальным по критерию минимума средних убытков.
Чтобы проиллюстрировать динамику процесса выдачи кредитов, основанного на использовании предложенной методики, рассмотрим результаты статистического моделирования, отражающие развитие этого процесса. Моделирование выполнялось с использованием ЭВМ для трех классов заемщиков k1, k2 и k3. Имитация зарегистрированных в базе данных кредитных сделок ранее имевших место действий заемщиков этих классов выполнялась при помощи датчика случайных чисел. При этом генерация j1, j2 и j3 осуществлялась таким образом, что они с заданными в начале моделирования (но неизвестными воображаемому кредитору) вероятностями возврата кредита в срок Р1=0,9, Р2=0,95, Р3=0,99 принимали значения 1 и с вероятностями (1-P1)=0,1, (1-P2)=0,05, (1-P3)=0,01 - значения ноль. Это позволило воспроизвести случайный характер действий заемщиков по выполнению своих обязательств. Для наглядности одна из полученных реализаций действий заемщиков класса k1 в каждом М-ом случае (1<M<50) заключения предыдущих сделок представлена на рис. 1.
Сформированная таким образом информация базы данных кредитных сделок обрабатывалась по приведенной в начале статьи формуле для вычисления оценок вероятностей Р1*, Р2*, Р3*. Эволюция этих оценок представлена на рис. 2, из которого видно, что по мере увеличения числа М известных результатов заключения кредитных сделок с заемщиками классов k1, k2 и k3 величины указанных оценок приближаются к истинным значениям вероятностей P1, P2 и P3. Этот процесс соответствует этапу накопления опыта кредитора заключения сделок с заемщиками рассматрива-емых классов.
Проанализируем теперь, к какому результату приведет использование этого опыта при выборе оптимальной стратегии выдачи кредитов.
Пусть кредитор имеет возможность заключения кредитных сделок на сумму F=1000 условных денежных единиц (у.д.е.), а заемщик n1 класса k1 предлагает заключение кредитной сделки на сумму s1=1000 у.д.е., заемщик n2 класса k2 - на сумму s2=300 у.д.е. и заемщик n3 класса k3 - на сумму s3=200 у.д.е. Значение прибыли от выдачи кредита при выполнении заемщиком своих обязательств примем равным 20 процентам от суммы.
Это означает, что s1=200 у.д.е., c1=1200 у.д.е., s2=60 у.д.е., c2=360 у.д.е., s3=40 у.д.е., c3=240 у.д.е. Значения убытков c1, 1<j<3, считаются равными sj+0,2sj, исходя из того, что при отказе j-го заемщика от возврата ссуженной стоимости кредитор теряет не только сумму sj , но и 20 процентов от нее, так как выдача этой суммы другому заемщику могла бы принести соответствующую прибыль.