Математические методы экономических исследований (стр. 13 из 14)
Метод Дельфы дает возможность улучшить простое усреднение оценок экспертов.
Итак, теперь можно перечислить основные этапы подготовки и проведения экспертизы. Они включают:
· постановку задачи (проблемы), подлежащей экспертизе;
· подбор и выбор экспертов;
· выполнение экспертизы;
· получение обобщенной экспертной оценки;
· формирование и оформление результатов экспертизы.
Для примера представим название некоторых задач и проблем, в решении которых применяются методы экспертных оценок.
Это:
· распределение различных видов ресурсов с установлением приоритетности;
· установление номенклатуры подлежащих выполнению работ для достижения определенных целей в условиях ограничений по различным ресурсам;
· установление удельных ресурсных затрат на выполнение каких-либо работ, норм расхода материалов, нормативной трудоемкости изготовления изделия и его составляющих, стоимости отдельных этапов научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ;
· установление возможных и допустимых границ колебания экономических показателей;
· установление параметров календарно-плановых нормативов, размеров партий запуска-выпуска изделий (деталей), величины заделов;
· определение перспективных направлений развития производственной системы, организационно-функциональной структуры;
· многокритериальная оценка деятельности предприятия;
· определение последовательности выполнения работ;
· научно-техническое и экономическое прогнозирование.
Процесс подготовки и проведения экспертизы сопряжен с процессом обработки огромных объемов информации с использованием громадного арсенала экономико-математических средств, методов и моделей. Поэтому получение более достоверных и надежных результатов экспертизы на современном этапе развития программно-технических средств не мыслим без привлечения в процесс экспертирования современных электронно-вычислительных комплексов.
Появление интерактивных режимов функционирования в программно-технологических комплексах дает прекрасную возможность оптимально сочетать неформализуемую интуитивную деятельность, присущую человеку, с неограниченными возможностями ЭВМ по решению формализованных задач.
В настоящее время разработан достаточно представительный набор программных средств типа экспертных и логико-расчетных систем (оболочек), позволяющих за приемлемо обозримое время настроиться на решаемый класс экспертных задач, доведя их до уровня “дружественного” общения между человеком и машиной. Существенной особенностью таких систем является так называемая база знаний, построенная на основе формализуемой части труда экспертов по определенным и конкретным проблемам. Некоторые из этих систем доведены до такого “совершенства”, что позволяют проводить экспертные оценки без участия экспертов-специалистов, которые могут привлекаться только в отдельных случаях, когда система начинает давать значительные сбои.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ТЕМАТИКА
Тема А. Элементы теории вероятности
1. Понятие вероятности. Общие свойства вероятности.
2. Основные формулы теории вероятности.
3. Понятие случайной величины. Дискретная и непрерывная случайная величина.
4. Понятие распределения случайной величины. Основные законы распределения.
Краткое содержание темы
Изложение содержания данной темы в настоящей работе не представляется целесообразным, так как его можно без труда найти в широком круге литературных источников, в том числе тех, которые перечислены в данной работе.
Тема Б. Нелинейное программирование
1. Постановка общей задачи нелинейного программирования.
2. Метод множителей Лагранжа.
3. Выпуклое программирование.
4. Градиентные методы.
5. Метод штрафных функций.
Краткое содержание темы
Постановка общей задачи нелинейного программирования состоит в следующем. Определить максимум (минимум) значения функции:
f(x1, x2, ..., xn) (Б.1)
при условии, что переменные удовлетворяют соотношениям:
, (Б.2)где, f и gi некоторые известные функции, bi - заданные числа.
Решение этой задачи X * = (x1*, x2*, ..., xn*), удовлетворяющее (Б.1) и (Б.2), такое, что для любого другого X = (x1, x2, ..., xn), удовлетворяющего (Б.2), имеем:
f(x1*, x2*, ..., xn*) ³ f(x1, x2, ..., xn) - для задачи максимизации;
f(x1*, x2*, ..., xn*) £ f(x1, x2, ..., xn) - для задачи минимизации.
Соотношения (Б.2) называются системой ограничений. Условия неотрицательности переменных могут быть заданы непосредственно. В евклидовом пространстве E n (Б.2) определяет область допустимых решений поставленной задачи (в отличие от задач линейного программирования эта область может быть не выпуклой).
Если область допустимых решений определена, то нахождение решения задачи (Б.1)-(Б.2) сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня: f(x1, x2, ..., xn) = h.
Эта точка может быть как на границе, так и внутри области.
Процесс решения задачи в геометрической интерпретации включает этапы:
· определение области допустимых решений, соответствующих (Б.2) (если она пуста, то решений задачи - нет);
· построение гиперповерхности f(x1, x2, ..., xn) = h;
· определение гиперповерхности наивысшего (наинизшего) уровня или установление неразрешимости задачи из-за неограниченности (Б.1) сверху (снизу) на множестве допустимых решений;
· нахождение точки области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня и определение в ней значения (Б.1).
Метод множителей Лагранжа
Общая постановка задачи состоит в нахождении максимума (минимума) функции: f(x1, x2, ..., xn) при условии: g(x1, x2,...,xn) = bi , i = 1, 2, ..., m.
Условия неотрицательности xj могут отсутствовать. Имеем задачу на условный экстремум - классическая задача оптимизации.
Задача решается следующим образом. Вводят набор переменных li (i = 1, 2, ..., m) - множителей Лагранжа и составляют функцию:
.Далее определяют частные производные:
(j = 1, 2, ..., n) и 
, (i = 1, 2, ..., m).На следующем шаге рассматривают систему n + m уравнений:
Любое решение этой системы определяет точку
, в которой может иметь место экстремум функции f (x1, x2, ..., xn). Таким образом, разрешив построенную систему, определяют все точки, в которых функция f может иметь экстремум. Дальнейшее исследование идет как в случае безусловного экстремума.Итак, этапы решения задачи нелинейного программирования методом множителей Лагранжа заключаются в следующем:
1.Составляют функцию Лагранжа.
2.Находят частные производные функции Лагранжа по xj и li и приравнивают их 0.
3.Решая полученную систему, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.
4.Среди точек, подозрительных на экстремум, находят точки, в которых достигается экстремум, вычисляют значения f(x1, x2,...,xn) в этих точках и среди них выбирают те, которые удовлетворяют условиям задачи.
Выпуклое программирование
Суть общей постановки задачи состоит в определении максимального (минимального) значения функции:
f(x1, x2, ...,xn)
при условиях:
gi(x1, x2, ..., xn) £ bi (i = 1, 2, ..., m), xj ³ 0 (j = 1, 2, ..., n).
Универсальных методов решения поставленной задачи в общем виде не существует. Однако, при определенных ограничениях решение этой задачи может быть найдено.
Несколько определений.
Функция f(x1, x2, ..., xn) на выпуклом множестве X называется выпуклой, если для любых двух точек X2 и X1 из X и любого 0 £ l £ 1, выполнено соотношение:
f[lX2 + (1 - l)X1] ³ lf(X2) + (1 - l)f(X1).
Множество допустимых решений удовлетворяет условию регулярности, если существует хотя бы одна точка Xi этой области такая, что gk(Xi) < bk (k = 1, 2, ..., m).
Задача выпуклого программирования возникает, если функция f является вогнутой (выпуклой), а gi - выпуклы.
Любой локальный максимум (минимум) является глобальным максимумом (минимумом). Наиболее характерным методом решения задач выпуклого программирования является метод множителей Лагранжа. При этом точка (X0, L0) называется седловой точкой функции Лагранжа, если:
F(x1, x2, ..., xn,
) £ F( 
)££ F(
), для всех xj ³ 0 и li ³ 0.