Прогноз среднего значения цены (стр. 2 из 3)

r_yx1 = 0,915

r_yx2 = 0,8

R² = r_yx1² = 0,8372

Вариация на 83,72 % объясняется вариацией возраста автомобиля

R² = r_yx2² = 0,64

Вариация на 64 % объясняется вариацией мощности двигателя автомобиля

Рассчитаем фактическое значение F- статистики Фишера по формуле:

F=

F=

= 0,768 для зависимости y от х₁

F=

= 0,285для зависимости y от х₂

F_т = 4,6

Поэтому для зависимостей y от х₁и y от х₂ выполняется неравенство

F_т <F_ф

гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t-критерий Стьюдента.

Для зависимости y от х₁:

= √F = √0,768 = 0,876

Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а₁

Для зависимости y от х₂:

= √F = √0,285 = 0,533

Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а₁

Проверка с помощью MicrosoftExcel

Оценка параметра а1	-1,87237	Оценка параметра а0	18,89868
Среднеквадратическое отклонение	0,200234	Среднеквадратическое отклонение а0	1,073633
Коэффициент детерминации R2	0,861987	Среднеквадратическое отклонение y	0,872798
F-Статистика	87,43972	Число степеней свободы	14
Регрессионная сумма квадратов	66,60951	Остаточная сумма квадратов	10,66487

Оценка параметра а1	0,0698523	Оценка параметра а0	2,0354973
Среднеквадратическое отклонение	0,013746	Среднеквадратическое отклонение а0	1,4271948
Коэффициент детерминации R2	0,648444	Среднеквадратическое отклонение y	1,3929996
F-Статистика	25,822959	Число степеней свободы	14
Регрессионная сумма квадратов	50,108105	Остаточная сумма квадратов	27,16627

Рассчитаемдоверительный интервал среднего значения цены для y = a₀ + a₁x₁/

: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

где у_в, у_н – соответственно верхняя и нижняя границы

доверительногоинтервала;

ŷ(х₀) – точечный прогноз;

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;

: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

t_a = 2,57

Доверительный интервал для уⁿ:

Нижняя граница интервала:

= 18,74-1,844*5 = 9,52

Верхняя граница интервала:

= 18,74-1,844*7 = 5,832

S_x1² = 1/n ∑(x_i -

)²= 19/16 = 1,1875

S_x1= 1,089

xi1	xi1 - хср1	(xi1 - хср1)2	х2	х1х2
5.0	-0,25	0,0625	155	775
7.0	1,75	3,0625	87	609
5.0	-0,25	0,0625	106	530
4.0	-1,25	1,5625	89	356
4.0	-1,25	1,5625	133	532
6.0	0,75	0,5625	94	564
5.0	-0,25	0,0625	124	620
5.0	-0,25	0,0625	105	525
4.0	-1,25	1,5625	120	480
4.0	-1,25	1,5625	107	428
7.0	1,75	3,0625	53	371
5.0	-0,25	0,0625	80	400
6.0	0,75	0,5625	67	402
7.0	1,75	3,0625	73	511
6.0	0,75	0,5625	100	600
4.0	-1,25	1,5625	118	472
19	8175

m_yx= S

1,089*√1/16 + 1,5625/19 = 0,414

5,832 – 2,57*0,414 ≤ yⁿ ≤ 5,832 + 2,57*0,414

На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст x^p₁ = 3 года. Мощность двигателя x^p₂ = 165 л.с.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели

y = β₀ + β₁ х₁ + δ

Подставляем x^p₁ в уравнение регрессии:

Получим точечный интервальный прогноз среднего цены.

(x^p₁) = 18,74 – 1,844*3 = 13,208 тыс. у.е.

Подставляем точечный интервальный прогноз среднего цены

(x^p₁) = 12,3 тыс. и x^p₁ = 3 года в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,9

ŷв.н. = 13,208±2,57*0,414 или ŷн = 12,14 тыс. у.е.,

ŷв = 14,27 тыс. у.е.

Задача 2

Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов множественной регрессионной модели

y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε

Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации и F-критерия. Пояснить их содержательный смысл.

Проверить полученные в заданиях результаты с помощью средств MicrocoftExcel.

Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по множественной модели y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε с доверительной вероятностью 0,9. Как в задаче 1, возраст поступивших автомобилей х₁ = 3 года, мощность двигателя х₂ = 165 л.с.

На основе полученных в задачах 1-2 статистических характеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиля от возраста и мощности двигателя.

Сумма произведений ∑х₁х₂ равна: 8175

Х^ТХ =

Х^ТY =

Найдем матрицу (Х^т Х), обратную матрице Х^ТХ.

Для этого сначала вычислим определитель.

Х^ТХ = 16*460*167667+1611*84*8175+1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175 = 1234102720+1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548

Определим матрицу алгебраических дополнений

Задача 3

В таблице представлены ежегодные данные объема продаж автомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда. Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а₀ а₁t +ε с методом наименьших квадратов.

Таблица 2 Ежегодные объемы продаж

t годы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
zt, продажи, тыс.у.е.	350	314	300	293	368	393	339	443	467	457	488	424

Для найденного уравнения тренда построить доверительную полосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальный прогноз среднего объема продаж.

В таблице 3 объемы продаж z_t в тыс. у.е. детализированы по месяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж:

z_{1 =} а₀ а₁t + а₂cos (2πt/12) + а₃sin (2πt/12) + ε_t

Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов.

По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогноз среднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объема продаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9.

Ежемесячные объемы продаж

t,годы	Zt	t	ytt	t2
1	2	3	4	5
1	350	1	350	1
2	314	2	728	4
3	300	3	900	9
4	293	4	1172	16
5	368	5	1840	25
6	393	6	2358	36
7	339	7	2373	49
8	443	8	3544	64
9	467	9	3736	81
10	457	10	4570	100
11	488	11	5368	121
12	424	12	5088	144
78	4636	78	32027	650

∑t = ½*12 (12+1) = 78

∑t² = 1/6 *12 (12+1) (24+1)= 650

а₀ =

515294/1716=283,61

а₁ =

= 22716/1716=15,804

Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:

y= 283,61+15,84t

Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле:

ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,