Экзаменационные вопросы и билеты по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ за весенний семестр 2001 года (стр. 1 из 4)
примерный перечень экзаменационных вопросов математические методы исследования экономики
1. Векторы. Определение, действия с векторами, свойства.
2. N-мерное пространство. Определение, свойства. Базис n-мерного пространства, свойства базиса.
3. Матрицы. Определение, примеры.
4. Действия с матрицами. Свойства.
5. Определитель матрицы, обратная матрица.
6. Вектор-столбец, вектор-строка.
7. Система линейных уравнений. Определение.
8. Методы Гаусса и Крамера решения системы линейных уравнений.
9. Системы линейных неравенств. Определение.
10. Решение системы двух линейных неравенств с двумя неизвестными.
11. Задача линейного программирования. Постановка задачи, запись в матричном виде, в виде системы неравенств, в векторном виде.
12. Транспортная задача. Постановка.
13. Основной метод решения задачи макетного программирования.
14. Двойственная задача к задаче линейного программирования. Правила построения, примеры.
15. Основные результаты двойственных друг другу задач.
16. Свойства оптимальных решений двойственных задач.
17. Основные понятия теории игр.
18. Игра двух лиц с нулевой суммой. Постановка задачи, понятие верхней и нижней цены игры, седловая точка.
19. Чистые и смешанные стратегии в игре двух лиц с нулевой суммой.
20. Понятие функции нескольких переменных. Основные определения, график функции двух переменных.
21. Возрастание (убывание) по отдельной переменной и по направлению функции двух переменных.
22. Понятие локального и глобального максимума (минимума) функции двух переменных.
23. Выпуклая (вогнутая) функции двух переменных. Геометрическая иллюстрация для функции одной переменной.
24. Абсолютные и относительные приращения функции двух переменных по отдельным переменным и по направлению.
25. Частные производные первого порядка по каждой переменной и по направлению функции двух переменных. Определения, свойства.
26. Частные производные второго порядка функции двух переменных. Определение, свойства.
27. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.
28. Градиент функции двух переменных. Определение, свойства.
29. Однородность функции двух переменных степени r.
30. Задача нелинейного программирования. Постановка.
31. Понятие выпуклых функций и выпуклых множеств. Задача выпуклого программирования. Постановка. Свойства.
32. Схема градиентных методов решения задачи выпуклого программирования. Метод наискорейшего спуска.
33. Функция Лагранжа задачи выпуклого программирования. Множители Лагранжа.
34. Условия Куна-Таккера.
35. Задача динамического программирования.
36. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Боллмана. Область применения динамического программирования.
37. Задача стохасического программирования в жесткой постановке и по средним.
38. Задачи экономики.
39. Постановка задачи принятия решения. Участники задачи принятия решения.
40. Методы обработки экспертной информации.
41. Для векторов x = (1, 0, 2, 4, 7), y = (0, 2, 4, 1, 1) указать размерность, построить векторы 2x, 5y, 3x + 2y, вычислить (x, y), (3x, 2y), (2x + y, x + 2y).
42. Для матриц А =
, В = 
найти А + В, 3А + 4В, В', А·В, В·А, |A|, A-1.43. Систему уравнений записать в матричной форме:
. Решить.44. Решить задачу линейного программирования:
. Указать оптимальное решение (x1, x2), максимальное решение целевой функции 20x1 + 30x2. Построить двойственную и найти ее решение. Дать геометрическую иллюстрацию, интерпретацию условий двойственности.45. В игре двух лиц с нулевой суммой с матрицей выигрышей Н =
указать: ― число стратегий первого игрока; ― вторую стратегию сторого игрока; ― нижнюю цену игры; ― верхнюю цену игры.46. Для функции Z =
найти: ― значение функции в точке (32, 243); ― частные производные первого и второго порядков по x и по y в точке (32, 243).47. Для функции Z = 60xy найти: ― абсолютное и относительное приращения функции при переходе из точки (1, 2): в точку (1, 4), в точку (5, 2), по направлению y = 3x при ∆x = 2.
48. Обосновать выпуклость множеств, заданных условиями: 1)
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.49. Проверить, является ли функция выпуклой (вогнутой): 1)
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.50. Построить график функции в точке: 1) ƒ(x, y) = (x - 1)2 + (y - 3)2 в точке (4, 7); 2) ƒ(x, y) = 20x + 18y в точке (1, 1); 3) ƒ(x, y) = 80xy в точке (3, 1); 4) ƒ(x, y) = 45x½y½ в точке (9, 16).
51. Построить функцию Лагранжа для задачи
при условиях: 3x + 8y ≤ 48 x, y ≥ 0.52. Решить задачу стохастического программирования в постановке “по срезам”: 5x + 3y → max 4x + 6y ≤ b x, y ≥ 0. b принимает значение 18 с вероятностью
и значение 45 с вероятностью 
. Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
Билет № 1
1) Показать результат произведения матрицы размерности m х n на вектор-столбец.
2) Привести двойственную задачу для следующей задачи линейного программирования:
Каковы размерности двойственной задачи линейного программирования, если прямая задача имеет размерности: векторы х и р размерности n, вектор в – размерности m, матрица А – размерности m х n?
3) Понятие глобального максимума функции двух переменных.
4) Экономический смысл отрицательности частной производной первого порядка по х функции двух переменных.
5) Описать метод наискорейшего спуска.
6) Предприятие выпускает два вида продукции, используя один вид сырья. Для производства единицы продукции каждого вида требуется 30 ед. и 20 ед. сырья, соответственно. Цена сырья – 300 руб./ед. Определить стоимость сырья, необходимого для осуществления следующего выпуска продукции
.7) Для функции f (x,y) = 10x + 15y в точке (15,10) построить градиент и линию уровня, проходящую через эту точку. Решение изобразить геометрически.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
Билет № 2
1) Привести свойства умножения матриц.
2) Дать понятие двойственности в линейном программировании.
3) Что такое принцип классификации по количеству стратегий? Привести примеры.
4) Свойство положительности частной производной первого порядка по х функции двух переменных (
).5) Что относится к задачам эконометрики?
6) Для вектора х = (3, 7, 0, 2) построить 3х.
7) Найти частную производную первого порядка по у функции
f(x,y) =20xy.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
Билет № 3
8) Дать определение произведения матрицы А на матрицу В.
9) Сформулировать условие, связанное со строгой положительностью некоторой координаты, например хj*, оптимального решения прямой задачи линейного программирования.
10) В игре двух лиц с нулевой суммой привести понятие верхней цены игры.
11) Привести формулу Эйлера для однородных функций.
12) Дать понятие оценки альтернативы х по критерию.
13) Найти координаты вершин множества, определенного системой линейных неравенств:
14) Для функции f (x,у) = -x2 + y в точке (2,9) построить линию уровня, проходящую через точку (2, 9) и градиент в этой точке. Решение изобразить геометрически.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
Билет № 4
15) Привести решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
16) Дать понятие опорного плана в задаче линейного программирования.
17) Область значений функции нескольких переменных.
18) Дать понятие безусловного экстремума функции нескольких переменных.
19) В чем состоит задача принятия решения?
20) Найти произведение матриц А =
и х = 