Несмотря на различное построение рассмотренных программ, нумерация в каждой из них изучается в соответствии с выделенной выше последовательностью этапов 1 – 8. Различие программ обусловлено разными позициями авторов относительно изучения арифметических операций. Так, составители дореволюционной программы и программы 1945 г. считали необходимым начинать изучение всех четырех арифметических действий уже в концентре «Десяток»; в программе 1986 г. в отличие от всех предыдущих предусмотрено письменное (в столбик) сложение и вычитание уже на множестве чисел первой сотни. Мы не будем здесь обсуждать достоинства и недостатки рассмотренных программ. Отметим только, что многие вопросы, касающиеся арифметического содержания программы по математике, еще не нашли в методике полного решения. Таким образом, процесс совершенствования программы по математике для начальных классов продолжается.
Геометрический, алгебраический материал и величины, изучаемые в начальных классах, имеют важное образовательное значение. Однако при включении этого материала в программу по математике исходят из того, что он должен быть тесно связан с арифметикой. Например, изучение многоугольников начинается тогда, когда учащиеся знакомятся с числами первого десятка: наряду с различными множествами бытовых предметов для иллюстрации используются геометрические фигуры. Так, число 4 ставится в соответствие множествам, содержащим 4 яблока, 4 автомашины и т. д., и четырехугольнику – фигуре, имеющей 4 стороны, 4 вершины, 4 угла. С понятием длины учащиеся знакомятся при изучении темы «Десяток». Линейка при этом используется для иллюстрации упорядоченности натуральных чисел, операций сложения и вычитания. Дециметр, например, интерпретируется как десяток (счетная единица), метр – как сотня.
2.2. Вычислительные приёмы на уроках математики в начальных классах
Вычислительный приём – это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату действия. Различают операции основные и вспомогательные. Основными называют операции, сразу дающие результат. Вспомогательными называют операции, которые лишь готовят к выполнению действия[36].
Раскроем суть вычислительного приёма. Пусть надо сложить числа 8 и 6. Приём вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций:
1. замена числа 6 суммой удобных слагаемых 2 и 4;
2. прибавление к числу 8 слагаемого 2;
3. прибавление к полученному результату, к числу 10, слагаемого 4.
Здесь выбор операций и порядок их выполнения определяется соответствующей теоретической основой приёма – применением свойства прибавления к числу суммы (сочетательное свойство): замена числа 6 суммой удобных слагаемых, затем прибавление к числу 8 последовательно каждого слагаемого. Кроме того, здесь используются и другие знания, например, при выполнении первой операции используется знание состава чисел первого десятка: 10=8+2 и 6=2+4.
Таким образом, можно сказать, что приём вычисления над данными числами складывается из ряда последовательных операций, выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причём выбор операций в каждом приёме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве теоретической основы.
В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приёмам вычислений.
Например:
15×6=15+15+15+15+15+15=90;
15×6=(10+5)×6=10×6+5×6=90;
15×6=15×(2×3)=(15×2)×3=90.
Теоретической основой для выбора операций, составляющих первый из приведённых приёмов, является конкретный смысл действия умножения; теоретической основой второго приёма – свойство умножения суммы на число, а третьего приёма – свойство умножения числа на произведение. Операции, составляющие приём вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции играю особую роль в процессе овладения вычислительными приёмами: выполнение приёма в свёрнутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций, являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся арифметическими действиями, можно назвать основными. Например, для случая 16×4 основными будут операции: 10×4=40, 6×4=24, 40+24=64. Все другие операции – вспомогательные.
Число операций составляющих прием, определяется прежде всего выбором теоретической основы вычислительного приема. Например, при сложении чисел 57 и 25 в качестве теоретической основы может выступать свойство прибавления суммы к числу, тогда прием будет включать три операции: замена числа 25 суммой разрядных слагаемых 20 и 5, прибавление к числу 57 слагаемого 20 и прибавление к результату, к 77, слагаемого 5; если же теоретической основой является свойство прибавления суммы к сумме, то прием для того же случая будет включать пять операций: замена числа 75 суммой разрядных слагаемых 50 и 7, замена числа 25 суммой разрядных слагаемых 20 и 5, сложение чисел 7 и 5, сложение полученных результатов 70 и 12. Число операций зависит также от чисел, над которыми выполняются арифметические действия.
Число операций, выполняемых при нахождении результата арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приемом. Например, для случаев вида 8+2 на начальной стадии формирования навыка ученик выполняет три операции: замена числа 2 суммой 1 и 1, прибавление числа 1 к 8 , прибавление числа 1 к результату, к 9. Однако после заучивания таблицы сложения ученик выполняет одну операцию – он сразу связывает числа 8 и 2 с числом 10. Как видим, здесь прием как бы перерастает в другой.
Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приёмов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приёмов в соответствии с их общей теоретической основой.
Классификация вычислительных приёмов.
1. Вычислительные приёмы, основанные на знании нумерации:
- на знании последовательности натурального ряда чисел; (например, 5 + 1; 600 - 1);
- на знании разрядного состава; (например, 54 - 50; 600 + 50);
- на понятиях увеличить или уменьшить в 10; 100; 1000 и т. д. раз. (например, 5 × 10; 900 : 100).
2. Вычислительные приёмы, основанные на знании конкретного смысла арифметических действий:
- сложение и вычитание по частям однозначных чисел; (например,5 + 2; 7 - 3);
- сложение и вычитание с переходом через десяток; (например, 8 + 7; 12 - 5);
- составление первого столбика таблицы умножения; (например, 8 × 8; 8 × 9). Конкретный смысл деления раскрывается на решении простых задач.
3. Вычислительные приёмы, основанные на знании взаимосвязей между результатом и компонентами арифметических действий:
- вычитание вида «9 – а, 8 – а, 7 – а, 6 – а»; (например, 9 – 6; 8 – 5);
- вычитание вида «12 - 5»;
- составление третьего столбика на деление таблицы умножения; (например, 54 : б; 49 : 7);
- деление двузначного числа на двузначное; (например, 51 : 17; 54 : 27).
4. Вычислительные приёмы, основанные на знании свойств арифметических действий:
- переместительного закона сложения; (вида «а + 5, а + б, а + 7, а + 8, а + 9». Например, 8 + 6);
-прибавления числа к сумме; (например, 34 + 2; 34 + 20);
- прибавления суммы к числу; (например, 48 + 9; 42 + 15);
- вычитания числа из суммы; (например, 34 – 2; 34 – 20);
- вычитания суммы из числа; (например, 62 – 9; 95 – 12);
-переместительного закона умножения; (например, 4 × 6; 5 × 9);
- умножение суммы на число; (например, 27 × 3; 24 × 4);
- деление суммы на число; (например, 54 : 3; 96 : 2);
- умножение числа на сумму; (например, 54 × 12);
- умножение числа на произведение; ( например. 38 × 20; 42 × 30);
- деление числа на произведение; (например,620 : 20; 840 : 30).
5. Вычислительные приёмы, основанные на знании частных случаев выполнения арифметических действий с числами 1 и 0; (например, 84 : 1; 62 × 0).
2.3. Признаки и этапы формирования вычислительных навыков
В век компьютерной грамотности значимость навыков письменных вычислений, несомненно, уменьшилась. Вместе с тем, научиться быстро и правильно выполнять письменные вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости этих навыков для дальнейшего обучения в школе.
Формирование у младших школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.
Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами, это вычислительный приём, доведенный до автоматизма. Приобрести вычислительный навык – значит, для каждого случая знать какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. В качестве сформированности полноценного вычислительного навыка можно выделить следующие критерии:
- правильность;
- осознанность;
- рациональность;
- обобщённость;
- автоматизм;
- прочность[37].
О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению.