Л. А. Семенко (Методические рекомендации из опыта работы в 7 9 классах) (стр. 1 из 3)
Л.А. Семенко
 |
(Методические рекомендации из опыта работы в 7 – 9 классах)
Отрадная 2006 г.
Уравнения с модулем.
Основные виды уравнений и способы их решений.
1. Повторение.
Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х, т.е. | x|, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное:
| x|= 
2. Геометрический смысл модуля.
Каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, для которой это число является координатой. Абсолютная величина этого числа – это расстояние соответствующей точки оси до начала координат. Например: х = а и х = – а удалены от начала координат на | а|.
– а 0 а
. . . х|←| а| = |– а| →|← | а| →|
Геометрически, абсолютная величина, (модуль) действительного числа есть расстояние от точки, изображающей это число на числовой оси, до начала координат.
Способы решения простейших уравнений с модулями.
1. | x| = с ( действительное число)
| x| = с 
Примеры: | x|= 5, х = ± 5;
| x|= 0, х = 0;
| x|= –5, х 
ø;
2. | f(x)| = b, b>0
| f(x)| = b
 |  |
| f(x)| = b, или | f(x)| = – b
Примеры:
а). | x+2 |= 7
x+2 = 7 или x+2 = – 7
x = 5; x = –9
Ответ: 5 ; –9.
б). | x2–8 |= 1
x2–8 = 1 или x2–8 = –1
x2=9; x2=7
х1,2=± 3 х3,4 = ± 
Ответ: ± 3; ± .
в). | x2– 4х |= 4
x2– 4х = 4 или x2– 4х = – 4
x2– 4х – 4=0; x2– 4х + 4=0
х1,2 =2 ± 2 
; х3,4 = 2
Ответ: 2 ± 2 ; 2.
Упражнения для самостоятельной работы:
1. |5 x+1 |=4 | x2– 4 |= 5 | 
x– 
|= 
2. | x– 5 |=4 | x2– 2х |= 3 | 3– 4х |= 3
3. |2х–5 |= 3 | x2– 2х |= 1 | x2– х–1 |= 1
4. | 3– 4х |= 1 | x2– 3х |= 2 | x2–х–5 |=1
5. | 5– 4х |= 3 | x2+ 3х |= 2 | x2–5х+6|=2
3. | f(x)| = g(x), g(x) = ≥0.
По смыслу модуля это уравнение может иметь решение, если правая часть g(x) = ≥ 0 ( неотрицательна ). Значит, раскрывая модуль при g(x) = ≥ 0 имеем два уравнения:
f(x) = g(x) или f(x) = –g(x). То есть
| f(x)| = g(x)
Примеры:
а). |2х–3 |= х – 2
х – 2 ≥ 0 х ≥ 2
2х–3 = х – 2 или 2х–3 = – ( х – 2 )
х1 = 1 х2 = 
. . . . х 0 1 
2
Ответ: х ø
б). |2х–1 |= 5х – 10.
5х – 10 ≥ 0, 5х ≥ 0, х ≥ 2
2х–1 = 5х – 10 или 2х–1 = – ( 5х – 10)
2х–5х = 1 – 10 2х+5х = 1 + 10
–3х = – 9 7х = 11
х= 3 х = 
. . . . . х 0 1 
2 3
Ответ: х = 3
б). | х–1 |=1 – х2
1 – х2 ≥ 0, (1 – х) (1 + х ) ≥ 0, –( х +1)( х–1) ≥ 0,
( х +1)( х–1) ≤ 0, –1 ≤ х ≤ 1.
х–1 =1 – х2или х–1 = х2– 1
х2 + х – 2 = 0 –х2 + х = 0
х1 = – 2 х3 = 0
х2 = 1 х4 = 1
. . . . х–2 –1 0 1
Ответ: х = 0; 1.
Упражнения для самостоятельной работы:
1). |х+2 |= 6– 2х 11).|2х2– 1|= х 2– 2х + 3
2).|3х– 7|=2х + 1 12).|5– х2|= х2– 7
3).|х– 1|=х + 8 13).|х2+3х|=1 – х
4).|х+3 |=3(4– х) 14).|х2+3х– 4|= х 2– 7х – 2
5).|х2–3х|=4 – х 15).|х2+3х+2|= 
(5х +16)
6). |х2+3х– 10|=3х– 1 16). |х2– 4|=х + 2
7). |х2–4х– 12|=6– х 17). |х2–х + 3|= – х – 1
8). |х2–4х+ 3|=2х–2 18). |х2+2х–5| = 
(х–1)
9). |х2–7х+ 12|= х2+8х– 3 19). |3х+3 |= 4– 4х2
10).|х– 1|= 3х2 20). |х| = 1– х2 – 3х
4. | ± f(x)| = f(x).
Решение данного уравнения равносильно решению неравенства f(x) ≥ 0, т.е. | ± f(x)| = f(x) 
f(x) ≥ 0.
Примеры:
а). |х–8 |= х – 8
х – 8 ≥ 0,
х ≥ 8
Ответ: [8; + ∞).
б). |х| = – х.
Это уравнение можно рассматривать как уравнение
|–(–х)|= – х, поэтому – х ≥ 0, х ≤ 0.
Ответ:(– ∞; 0].
в). | х2 + х–6 |= х2 + х–6
х2 + х–6 ≥ 0; (х+3)( х–2) ≥ 0
х1 = –3 х2= 2
. . х-3 2
Ответ:(– ∞; -3] 
[2; + ∞).
в). |4х–7 |= 7 – 4х
|–(7 – 4х) |= 7 – 4х;
7 – 4х ≥ 0; – 4х ≥ –7 ; х = 
, х ≤
. х 
Ответ:(– ∞; ].
Упражнения для самостоятельной работы:
1). |х–2 |= х – 2 6). | х2 –8 х+ 12 |= х2 –8 х+ 12
2). |х| = х = 0 7). |2 х2 –8 х+ 6 |= 2 х2 –8 х+ 6
3). 7 – 4х = |4х–7 | 8). |- х2 +5 х+ 6 |= х2 +5 х+ 6
4). |9 – х2 |= 9 – х2 9). | х2 – х+ 5 |= х2 – х+ 5.
5). х– |х–2 | = 2 10). | х2 +х |= х2 +х.
5. | f(x)| = | g(x)|.
Уравнение равносильно двум уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = – g(x). То есть | f(x)| = | g(x)| 
Примеры:
а). |х2–5х+ 7|= |2х– 5|
х2–5х+ 7= 2х– 5 или х2–5х+ 7= 5– 2х
х2–7х+ 12=0 х2–3х+ 2=0
х1 = 3 х3 = 2
х2 = 4 х4 = 1
Ответ: 1; 2; 3; 4.
б). |х2– 1|=| х + 3|
х2– 1= х + 3 или х2– 1=– х– 3
х2– х–4 =0 х2+ х+2 =0
D = 17 > 0 D = – 7 < 0 - корней нет
x1,2 =
