Однако альтернативная теория множеств позволяет разработать другое представление континуума. Исходным моментом служит появление континуума вместо класса, скрывшегося за горизонтом. Элементы такого скрывшегося класса вступают в некое отношение неразличимости, на котором и основано представление континуума. Та структура, посредством которой классическая теория множеств описывает непрерывность и топологические формы, выводится из этого отношения неразличимости. Иными словами, топология в классическом смысле оказывается уже чем-то вторичным.
Например, если посмотреть на кучу песка с расстояния десяти сантиметров, мы увидим отдельные песчинки, но не кучу в целом. Если посмотреть на ту же кучу с расстояния десяти метров, то отдельные песчинки уже будут неразличимы и мы увидим саму кучу — непрерывное тело определённой формы, то есть континуум (такой взгляд называется медиальным). Таким образом отдельные элементы класса уже не находятся перед горизонтом; континуум, который мы видим, есть лишь след, оставленный классом на горизонте. Этот континуум позволяет нам заключить, что рассматриваемый класс и все его элементы всё ещё имеются хотя бы где-то за горизонтом; т. е. этот класс всего-навсего ушёл за горизонт. Более того, сохранилось также направление, в котором на него надо смотреть. Поэтому мы можем представлять континуум как феномен, находящийся на самом горизонте.
При медиальном взгляде на некоторый класс мы не видим его отдельных элементов: они ушли за горизонт. Поэтому нет смысла прямо говорить об их различимости или неразличимости, но мы можем эти скрывшиеся за горизонтом элементы различать и непрямо, т. е. без того, чтобы мы их непосредственно видели, а именно, посредством следа, оставленного ими на горизонте. Например, если мы смотрим на стол, стоящий перед нами, то не видим составляющих его молекул. Однако две молекулы, из которых одна находится посередине стола, а другая в углу, уже непрямо различимы, поскольку середину стола мы хорошо отличаем от его угла. Наоборот, молекулы, которые для нас, так сказать, сливаются в одну точку, неразличимы даже и так непрямо.
Каждому взгляду присуща некоторая неразличимость, которую мы можем представлять себе как эквиваленцию, и по сути задание этой эквиваленции описывает топологическое устройство класса. Если мы скажем, какие из молекул стола неразличимы (ибо находятся «близко» друг к другу), мы зададим на нём структуру, аналогичную классическому понятию топологии. При этом топологический образ континуума зависит и от взгляда. Ведь если мы посмотрим на тот же стол в микроскоп, вполне вероятно, что мы заметим на нём всевозможные бугорки и сквозные отверстия. Это значит, что континуум меняет свою форму при изменении взгляда на него.
Соответственно возникает вопрос об объективности понятия формы. Если бы действительно существовало объективное пространство, в котором размещены все частицы, из которых этот стол состоит, то иначе не могло бы быть; но тогда объективной формой этого стола вряд ли была бы та форма, которую мы видим теперь, или даже та, которую бы мы видели, глядя на него через сильный микроскоп. И не ясно, добрались бы мы до этой формы, усиливая зоркость.
Если же принять позицию, что объективного пространства не существует, а есть лишь разные формы континуумов, соответствующие всегда определённому взгляду, то мы ни в чём не ограничим наше представление мира. То, что мы воспринимаем как пространство, есть не что иное, как абстрагированные формы континуумов, явленные нам при определенном взгляде (или при некоторой совокупности таких взглядов). Вопенка показывает, что в рамках этого подхода можно развить топологию по сути аналогичную классической.
Другое применение концепции неразличимости — это конструкция вещественных чисел. В начале необходимо ввести рациональные числа (как отношения натуральных чисел). На их множестве есть естественное отношение неразличимости: x и y неразличимы, если для всех конечных натуральных чисел n имеем |x - y| < 1/n. Это значит, что слишком близкие рациональные числа сливаются для нас в одно, расстояние между ними находится за горизонтом. Аналогично слишком большие рациональные числа (превосходящие все конечные рациональные числа) тоже лежат за горизонтом. Вещественными числами будем называть классы эквивалентности (по вышеописанному отношению неразличимости) ограниченных (не «слишком больших» в вышеуказанном смысле) рациональных чисел. Показывается, что для так определённых вещественных чисел выполнена аксиома о существовании точной верхней грани. И вообще, такие вещественные числа удовлетворяют всему тому, что от них ожидается. Техника работы с самими вещественными числами в альтернативной теории множеств ничем существенным не отличается от того, как с вещественными числами работают в классической математике.
§ 6. Заключение. Динамическая альтернативная теория множеств.
В заключение надо сказать несколько слов о динамической альтернативной теории множеств. Это пока ещё не вполне разработанное направление в AST, в котором изучаются проблемы, связанные прежде всего с динамикой изменения наших взглядов на мир, что, в первую очередь, изменяет месторасположение горизонта. Горизонт можно отдалить заострением внимания, но здесь наши возможности весьма ограничены. Если хочется большего, то можно пытаться отдалить горизонт мысленно, опираясь на принцип, согласно которому за горизонтом мир продолжается так же, как и до горизонта. Но чем дальше мы так уходим, тем менее надёжным становится этот принцип. И хотя при достаточном отдалении мысленных горизонтов мы избавляемся от неуверенности и страха, сопровождающих близкий горизонт, но лишь ценой внушения себе чего-то, не являющегося истиной. Ведь мы думаем, что нечто можно видеть так, как мы это видеть не умеем, а может быть, так видеть это и невозможно. Неуверенность, сопровождающая близкие горизонты, для дальних горизонтов заменяется страхом разрушения мира или хотя бы наших достоверных знаний.
Все наши мыслимые взгляды на расширенный универсум будем истолковывать как объекты; каждому взгляду соответствует своя ветвь универсума — универсум множеств, собрание натуральных чисел, их части, лежащие перед горизонтом. Проще говоря, для каждого взгляда есть своя статическая альтернативная теория множеств. При этом сам универсум множеств V мы считаем объективным, не зависящим от взгляда. Равно как и отношение принадлежности объекта множеству. При разных взглядах мы получаем перед горизонтом его большую или меньшую часть, т. е. ту его часть, которую при таком взгляде мы можем наблюдать непосредственно; однако все множества из универсума множеств существуют объективно, независимо от того, видим мы их или нет. Основным содержанием данного направления является изучение плавного «заострения» взглядов — процесса изменения взгляда, при котором происходит отдаление горизонта. Тем не менее этот вопрос подробно в настоящей книге не рассматривается.
Список литературы
1. Вопенка П., Альтернативная теория множеств: Новый взгляд на бесконечность. Пер. со словац. — Новосибирск: Изд-во Института математики, 2004.
2. Малыхин В.И., Гипотеза Суслина и eё значение для теоретико-множественной математики.
http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=rm&paperid=969&what=fullt&option_lang=rus
3. Лузин Н.Н., Собрание сочинений, том 2. – М.: Изд-во АН СССР, 1958 – с. 29
4. Рузавин Г.И., Философские проблемы оснований математики. – М., 1983. – с. 85
5. Логический словарь. http://slovarchik.ru/875/
6. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза.
http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/9e4261b9d145d3cdf72febad03fd7953.djvu
7. Альтернативная философия математики.
http://altera-pars.narod.ru/Qadra/alterMah.htm