на тему «Геометрические преобразования» (стр. 3 из 9)

Доказательство.

I. Существование. Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия S_α переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B₁C₁D₁.

Теперь, если В₁ совпала с В´, С₁ – с С´, D₁ – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В₁ не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B₁ и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В₁ и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия S_β переводит тетраэдр A´B₁C₁D₁ в тетраэдр A´B´C₂D₂.

Теперь, если С₂ совпала с С´, а D₂ – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С₂ не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С₂ и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С₂ и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия S_γ переводит тетраэдр A´B´C₂D₂ в тетраэдр A´B´C´D₃.

Теперь, если D₃ совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D₃ и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D₃ и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия S_δ переводит тетраэдр A´B´C´D₃ в тетраэдр A´B´C´D´.

Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).

II. Единственность. Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение

является тождественным преобразованием, т.к. оставляет точки А, B, C, D неподвижными. Значит, f=g.

При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и

Теорема 5.2. Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.

6. Движения первого и второго рода.

Определение. Пусть (

, , ) – упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Будем смотреть на трёхгранный угол ОАВС из того полупространства относительно плоскости (АВС), которое не содержит точку О. Теперь, если переход от точки А к точке В, а затем, от В к С совершается против часовой стрелки, то тройка ( , , ) называется положительно ориентированной (правой). В противном случае тройка ( , , ) называется отрицательно ориентированной (левой).

Теорема 6.1. Зеркальная симметрия меняет ориентацию любой упорядоченной тройки некомпланарных векторов.

Доказательство. В этом можно убедиться непосредственной проверкой.

Определение. Если для упорядоченной тройки некомпланарных векторов движение сохраняет (меняет) её ориентацию, то такое движение называется движением первого (второго) рода.

Теорема 6.2. (корректность определения) Если при движении некоторая упорядоченная тройка некомпланарных векторов сохраняет (меняет) ориентацию, то любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов при этом движении сохраняет (меняет) ориентацию.

Доказательство. Представим наше движение в виде композиции зеркальных симметрий (по теореме 5.2 это можно сделать). Пусть наше движение – композиция k зеркальных симметрий,

. Тогда, выполняя симметрии поочерёдно, по теореме 6.1 получим, что наше движение меняет ориентацию тройки векторов k раз. Таким образом, движение меняет ориентацию тройки векторов, если k нечётно, и сохраняет, если k чётно. Итак, мы попутно получили, что при нечётном k наше движение II рода, при чётном – I рода, что фактически и доказывает теоремы 6.3 и 6.4:

Теорема 6.3. Любое движение I рода есть композиция двух или четырёх зеркальных симметрий.

Теорема 6.4. Любое движение II рода есть зеркальная симметрия или композиция трёх зеркальных симметрий.

Теорема 6.5. (теорема Даламбера) Движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, представимо композицией двух зеркальных симметрий.

Доказательство. Вспомним доказательство теоремы 5.1 (существование). Пусть одна из точек А, В, С, D и есть неподвижная точка пространства. Тогда наше движение представится композицией не более трёх зеркальных симметрий. Но наше движение I рода. Значит, по теореме 6.3 оно является композицией двух зеркальных симметрий.

7. Классификация движений пространства.

Пользуясь доказанными теоремами, можно классифицировать все движения пространства.

Мы хотим доказать общую теорему:

Теорема 7.0. Любое движение пространства есть параллельный перенос, винтовое движение, поворот вокруг оси, зеркальная симметрия, поворотная симметрия или переносная симметрия.

Для этого удобно разбить все движения по классам. И для каждого класса определить все движения, входящие в этот класс. Для начала разобьём все движения на движения I и II рода и докажем две теоремы, из которых сразу следует теорема 7.0:

Теорема 7.1. Любое движение I рода есть параллельный перенос, винтовое движение или поворот вокруг оси.

Теорема 7.2. Любое движение II рода – это зеркальная симметрия, поворотная симметрия или переносная симметрия.

Для доказательства этих теорем удобно разбить движения на классы по количеству неподвижных точек. Теперь мы получим четыре теоремы, каждая из которых в отдельности доказывается несложно:

Теорема 7.1.а. Любое движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является поворотом вокруг оси.

Теорема 7.1.б. Любое движение I рода, не имеющее неподвижных точек, есть параллельный перенос или винтовое движение.

Теорема 7.2.а. Любое движение II рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или поворотной симметрией.

Теорема 7.2.б. Любое движение II рода, не имеющее неподвижных точек, есть переносная симметрия.

Эти теоремы фактически доказывают теоремы 7.1 и 7.2.

Будем доказывать их не по порядку, т.к. при доказательстве некоторых теорем удобно использовать другие.

Пусть f – данное движение.

Доказательство теоремы 7.1.а. Утверждение – простое следствие теоремы 6.5 (теоремы Даламбера), согласно которой f можно представить композицией двух зеркальных симметрий. Если плоскости симметрии параллельны, то f – параллельный перенос, что невозможно, т.к. у параллельного переноса нет неподвижных точек. Значит, плоскости симметрии пересекаются по некоторой прямой ℓ. Тогда, как легко показать, f – поворот вокруг оси ℓ на удвоенный ориентированный угол между плоскостями симметрии.

Доказательство теоремы 7.2.а. Возможны два случая: f – зеркальная симметрия или f – композиция трёх зеркальных симметрий (теорема 6.4). В первом случае и доказывать нечего. Во втором случае рассмотрим неподвижную точку О нашего преобразования f . Теперь рассмотрим движение

. У движения g точка О неподвижная. С другой стороны, g – движение I рода (т.к. меняет ориентацию). Отсюда (теорема 7.1.а) g – поворот вокруг оси, содержащей точку О. Но , т.е. f – поворотная симметрия.

Доказательство теоремы 7.2.б. Пусть А´ – образ некоторой точки А при движении f, α – плоскость симметрии точек А и А´. Тогда движение

первого рода имеет неподвижную точку А´. По теореме 7.1.а движение g – поворот вокруг оси. Пусть . Тогда , откуда , причём ℓ||α, иначе общая точка ℓ и α будет неподвижной точкой движения f. Как мы уже говорили, композицией двух зеркальных симметрий (если плоскости симметрий не параллельны) будет поворот вокруг общей прямой плоскостей симметрий на удвоенный ориентированный угол между плоскостями симметрий. Отсюда понятно, что поворот вокруг оси можно представить композицией двух зеркальных симметрий. Плоскости симметрий должны обе содержать ось поворота, причём одну из этих плоскостей в остальном можно выбрать произвольно. Представим , выбрав плоскость β перпендикулярной плоскости α. Тогда . Заметим, что – осевая симметрия S_u, где . Причём u||γ, т.к. u параллельна прямой ℓ, лежащей в плоскости γ. S_u можно представить композицией двух зеркальных симметрий , где . При этом получится π||γ. Тогда , причём – вектор, перпендикулярный плоскостям γ и π, т.е. ||σ. Таким образом, – переносная симметрия.