Модель распределения ресурсов (стр. 6 из 9)

Итак, мы получили следующий оптимальный план распределения средств между двумя предприятиями по годам:

Предприятие	1-й год	2-й год	3-й год
I	350	200	24
II	50	20	100

При этом может быть получен максимальный доход, равный Z_max=99,l. Прямой подсчет дохода по табл. 2 для найденного оптимального управления дает 97,2. Расхождение в результатах на 1,9 (около 2%) объясняется ошибкой линейной интерполяции.

Мы рассмотрели несколько вариантов задачи оптимального распределения ресурсов. Существуют другие варианты этой задачи, особенности которых учитываются соответствующей динамической моделью.

2.4 Учет последействия в задачах оптимального распределения ресурсов

При постановке задачи оптимального распределения ресурсов мы предполагали, что доход на каждом шаге от всех предприятий и максимальный доход

, начиная с k-го шага до конца планового периода, зависели только от состояния системы

к k-му шагу и от управления

на этом шаге, но не зависели от того, каким образом распределялись средства между предприятиями на предыдущих шагах. Однако во многих задачах оптимального распределения средств доход, полученный на k-м шаге, может оказаться зависимым и от того, какие средства и в каком количестве выделялись каждому из предприятий на предыдущих шагах, т. е. от предыстории процесса.

Таким образом, нарушается одно из условий, предъявляемых к задачам оптимизации, для того чтобы их можно было описать моделью ДП. Чтобы учесть предысторию процесса распределения ресурсов, можно увеличить число параметров состояния на каждом шаге, искусственно включив в число фазовых координат все управляющие параметры: предшествующих шагов, которые определяют последействие. Если число таких параметров велико, то схема ДП усложняется настолько, что становится практически неприменимой. В случае если размерность искусственного фазового пространства не превышает 3-4, то задачу можно решить вручную или (для большого числа шагов n) на машине.

Рассмотрим модель задачи оптимального распределения ресурсов с последействием, аналогичную задаче 2.

Задача 5. Начальные средства

распределяются между двумя предприятиями в течение n лет. Доход, полученный в конце k-го года от предприятий I и II, зависит от средств

, выделенных соответственно в предприятия I и II в k-м году, и от суммы всех вложенных в предприятия I и II средств соответственно за предыдущие k—1 лет. От этих же факторов зависит и величина средств, которые возвращаются в конце каждого года и перераспределяются в очередном плановом периоде. Новые средства не поступают, доход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения ресурсов между предприятиями I и II на n лет.

Обозначим через

функции дохода, а через

— функции возврата средств для предприятии I и II соответственно.

Состояние системы

в конце k-го шага удовлетворяет уравнению

, (2.11)

а доход, полученный на k-м шаге от двух предприятий, равен

. (2.12)

Величины (2.11) и (2.12) зависят не только от управления

на k-м шаге, но и от всех управлении на предшествующих шагах (процесс распределения ресурсов обладает последействием).

Введем в рассмотрение две новые фазовые координаты:

, (2.13)

полагая

. Состояние системы к началу k-го шага характеризуется тремя параметрами:

. Так как все наличные средства

в k-м году полностью распределяются между предприятиями I и II, то

Уравнение состояния имеет вид

(2.14)

а доход на k-м шаге равен

. (2.15)

Суммарный доход за n лет составляет

. (2.16)

Требуется найти неотрицательные переменные

, обращающие в максимум функцию (2.16) и удовлетворяющие уравнениям (2.14) при начальных условиях

Обозначим через

условный максимальный доход, полученный за n—k+1 шагов, начиная с k-го до n-го включительно, при оптимальном распределении средств

на этих шагах.

Функциональные уравнения (1.5) для

имеют вид

;

. (2.17)

Решая последовательно уравнения (2.17) для

, получим, как и выше, две последовательности значений

. Далее при начальных условиях

, учитывая уравнение состояния (2.14), по цепочке получим оптимальное управление