Задачи Лоповок (стр. 12 из 19)

43. Изобразите правильный шестиугольник, зная, что данная плоскость делит пополам две не параллельные и не смежные его стороны.

44. Дано изображение квадрата АВСВ и точки М на стороне А.В. Постройте изображение прямой, проходящей через А пер­пендикулярно МО.

45. Дано изображение правильного шестиугольника АВСВЕР. Постройте изображение биссектрис угла: а) АСВ;

б) ВАЕ; в) между АС и ВВ; г) между АС и ВЕ.

46. Чтобы получить изображение правильного восьми­угольника, построили изображение квадрата АВСВ. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересеклись в точке О. Каждый из отрезков, исходящий из точки О, продли­ли на -г- его длины. Полученные точки и вершины квадрата считали изображением вершин правильного восьмиугольника. Верно ли это? Если да, определите точность построения (рис. 54).

47. АВСВ — изображение квадрата. На сколько нужно продлить в обе стороны отрезки, соединяющие середины каж­дых двух соседних сторон квадрата, чтобы полученные точки и вершины квадрата оказались изображением вершин правиль­ного двенадцатиугольника?

48. Дано изображение равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность. Укажите на изображении точки касания сторон трапеции с вписанной окружностью.

49. Дано изображение равнобедренного прямоугольного тре­угольника. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник так, что две вершины его лежат на гипотенузе, а две — на катетах.

50. Дано изображение равностороннего треугольника. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник.

51. Дано изображение ромба, у которого одна диагональ равна стороне. Изобразите высоты ромба, проходящие через его центр.

52. Дано изображение прямоугольного треугольника, у ко­торого отношение катетов равно 2 : 3. Постройте изображение серединного перпендикуляра к медиане, проведенной к боль­шему катету.

53. Дано изображение квадрата АВСВ. Постройте изобра­жение равностороннего треугольника АВМ.

54. Дано изображение прямоугольника, у которого отно­шение двух сторон равно 1 : 2. Постройте изображение середин­ного перпендикуляра диагонали этого прямоугольника.

Задачи на построение в пространстве

55. Дан пятиугольник АВСВЕ и проекции трех его вершин на плоскости. Постройте проекции остальных вершин.

56. Дан пятиугольник АВСВЕ и проекции трех точек, принад­лежащих его сторонам, на плоскость 6. Найдите проекцию пяти­угольника на эту плоскость.

57. Дана проекция пятиугольника на плоскость и поло­жение трех его вершин. Найдите положение* остальных вершин.

58. Дана проекция пятиугольника на плоскость б, а также изображения трех точек плоскости пятиугольника, не лежащих на одной прямой, и их проекции на плоскость 6. Постройте изображение пятиугольника.

59. Дана прямая I, пересекающая плоскость б, и точка М, не принадлежащая ни прямой I, ни плоскости 6. Постройте через эту точку ^прямую, которая параллельна плоскости 6 и пересекает прямую I.

60. Даны плоскость 6 и направление лучей света (то есть изображение соответствующей прямой и ее проекции на пло­скость 6). Постройте тень данного квадрата АВСВ на эту плоскость (рис. 55).

61. Даны плоскость 6 и -положение точечного источника света М. Построите тень данного треугольника на эту плоскость.

62. Прямая АВ лежит в плоскости б, а прямая СВ пере­секает эту плоскость; данная точка М лежит вне этой плоскости (рис. 56). Постройте через точку М прямую, которая пересекает АВ и СВ.

63. Дано изображение куба и направление лучей света. Постройте тень куба на плоскость его основания (рис. 57).

64. Постройте тень куба на плоскость его основания, если дано положение точечного источника света.

65. Основания двух кубов находятся в одной плоскости. Прямая пересекает поверхность бдйбго куба в точках А и 3. В Каких Точках о*га 'пересекает поверхность другого куба?

66. Даны два куба, основания которых находятся на плоскос­ти б, и положение точечного источника света. Как построить тень одного куба на поверхности другого?

Перпендикулярные прямые

67. Биссектрисы двух неравных углов равнобедренного треугольника соответственно параллельны двум биссектрисам углов другого равнобедренного треугольника. Параллельны ли основания этих треугольников?

68. Биссектрисы двух внутренних углов треугольника со­ответственно параллельны биссектрисам двух внутренних углов другого треугольника. Параллельны ли соответственные биссектрисы внешних углов этих треугольников?

Перпендикуляр к плоскости

69. Сколько различных плоскостей определяют 4 перпен­дикуляра к одной плоскости?

70. Докажите, что прямые а и b параллельны, если они имеют два общих перпендикуляра.

71. АВСОА\В\С\В\ — куб. Докажите, что любая высота грани АВВ\А \ либо параллельна, либо перпендикулярна

ПЛОСКОСТИ А\В\С1.

72. Докажите, что прямая и плоскость параллельны, если - они имеют общий перпендикуляр.

73. Прямые о и Ъ параллельны, о — перпендикуляр к плоскости 6, Ъ — перпендикуляр к плоскости о. Параллель­ны ли эти плоскости?

^ (? 74. Плоскость 6 не пересекает трапецию АВСВ. Суммы рас­стояний концов от плоскости б у обеих диагоналей одинаковы. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоско­сти 6.

75. Прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярна плоскости 6. Как распо­ложена относительно этой плоскости средняя линия тра­пеции?

76. Одна из диагоналей ромба находится на перпендикуляре I: плоскости 6. Докажите, что вторая диагональ параллельна плоскости 6 или находится на этой плоскости. ,<$ 77. Расстояния вершин А, В, С параллелограмма АВСВ от плоскости 6 равны 7, 20, 11 см. Найдите расстояние от вер­шины В до этой плоскости.

&bsol; <9 78. Какую фигуру в пространстве образуют все точки, каждая из которых равно удалена от двух данных точек?

79. Какую фигуру образуют все точки, расстояния которых от двух данных параллельных плоскостей относятся, как 1 : З?

80. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых расстояния от плоскости б и от точки М этой плоскости одинаковы?

^ '^? 81. Точка М находится вне плоскости 6. Одна из сторон треугольника МАВ находится на плоскости 6. Какую фигуру образуют центры масс всех таких треугольников?

82. Прямая I параллельна плоскости 6. Какую фигуру образуют центры всех таких параллелограммов, у каждого из которых одна сторона находится на прямой I, а другая — на плоскости б?

&bsol; <? 83. Треугольники АВС и АВМ — равносторонние, их пери­метры равны по 18см. Зная, что СМ== Зт/6 см, укажите на рисунке перпендикуляр к плоскости АВС.

84. Два квадрата, периметры которых по 24 см, имеют общую сторону. Расстояние между центрами квадратов 3-&bsol;/2 см. Укажите на рисунке перпендикуляры к плоскостям этих квадратов.

85. Два правильных шестиугольника имеют периметры по 48 см. Отрезок АВ — их общая малая диагональ, рас­стояние между центрами шестиугольников 4-&bsol;/2 см. Изобразите шестиугольники и перпендикуляры к их плоскостям.

Перпендикуляр и наклонная

86. Прямая I параллельна плоскости 6. Какую фигуру образуют концы наклонных длины а, проведенных к плоскости 6 из точек прямой /?

^ 87. Из точки М к плоскости, не содержащей эту точку,. проведены наклонные длиной 25 и 40 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости, зная, что сумма проекций наклонных на эту плоскость 39 см.

88. Точка М ^ 6, длины наклонных МА и МВ 30 и 25 см.. Определите расстояние от точки М до плоскости 6, зная, что разность проекций наклонных на эту плоскость 11 см. •: ^.89. К плоскости 6 из точки М, не лежащей в этой плоскости, проведены перпендикуляр МО и наклонные МА и МВ. Зная, что 4 АМВ = 60°, 4 АМО == /- ВМО = 45°, найдите градус­ную меру угла между проекциями наклонных.

90. Плоскость проходит через основание трапеции на рас­стоянии 8 см от точки пересечения диагоналей. Найдите от­ношение длин оснований этой трапеции.

91 Вершины треугольника удалены от плоскости 6, не пересекающей его, на 7, 15, 19см. Найдите расстояния от середин медиан треугольника до плоскости 6.

92. Б треугольнике АВС ^ А = /- В = 30°. Найдите на плоскости АВВ точку с наименьшей суммой расстоянии от вершин треугольника.

93. Концы отрезков АВ и СО лежат на плоскостях б и а, причем точки А -а С находятся на одной плоскости, а точки В и О—на другой. АВ = 9 см, СВ = 15 см, АС == 7 см, ВВ =11 см, отрезок АВ перпендикулярен плоскостям 6 и о. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ

94. В треугольнике АВС: АВ = 5 см, А.С = 7 см, ^. 4 = 60°. Его проекция на плоскость, параллельную ВС и проходящую через А,— треугольник с углом 120°. Найдите расстояние от стороны ВС до этой плоскости.

95. Проекция прямоугольного треугольника на плоскость, проходящую через вершину прямого угла параллельно гипо­тенузе, есть треугольник с углом в 120° и сторонами этого угла 8 и 9 см. Найдите расстояние от этой плоскости до гипо­тенузы.

96. Плоскость параллельна наибольшей средней линии пря­моугольного треугольника АВС. Проекции сторон треугольника на эту плоскость 11, 12, 19 см. Найдите площадь треугольника

АВС. .„п О 97. Через вершину А прямоугольного треугольника А-ас

проходит плоскость 6, которая параллельна гипотенузе ВС и удалена от нее на 24 см. Зная, что ВС = 50 см, а проекции катетов на плоскость 6 относятся , как 9 : 16, найдите площадь

треугольника АВС.

98. В окружность радиуса L вписан равносторонний треугольник АВС, точка M находится вне его плоскости. Докажите,

что MA2 + МБ2 + МС2 == ^(й2 + МО2), где О — центр окружности.