Задачи Лоповок (стр. 13 из 19)

99. МО — перпендикуляр к плоскости, проходящей через

ее точку O. MA = 10 см, MB = 16 см, ^OAM=^2OBM.

Найдите MO.

100. Из точки M, находящейся вне плоскости б, проведены

к этой плоскости перпендикуляр MO и наклонные MAи MB.

Зная, что АО = 33 см, ВО = 8 см, /- АМО = -|- ^ ВМО, найдите МО.

101 Из точки М проведены к плоскости 6 перпендикуляр

МО и наклонные МА, МВ, МС. Проекции МВ и МС меньше проекции МА на 33 и 48см, ^ОАМ : А.ОВМ : ^ОСМ == =1:2:3. Найдите МО.

Теорема о трех перпендикулярах

102. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные от

прямых, содержащих стороны данного треугольника?

103. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные

от трех прямых, находящихся в плоскости б?

104. Катеты прямоугольного треугольника АВС 12 и 16 см. Точка М удалена от каждой из прямых АВ, АС, ВС на 13 см. Найдите ее расстояние от плоскости АВС.

105. Точка М удалена от вершины и сторон прямого угла соответственно на 16, 12, 11 см. Найдите ее расстояние от плоскости прямого угла.

106. На плоскости 6 дан угол в 60°. Точка М удалена от его вершимы на 5. см, а от сторон на 4 и 3 см. Найдите расстоя­ние от точки М до плоскости названного угла.

107. Основания прямоугольной трапеции 10 и 15 см. Точка М удалена от каждой стороны трапеции на 10 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.

108. На плоскости 6 отмечены точки А и В, на. плоскости а — точки С и В так, что АВ == 13 см, СО = 14 см, АС == 8 см, ВВ ==17 см, причем прямая АС перпендикулярна плоскостям 6 и ст. Найдите расстояние между АС и ВВ.

109. Если существует точка, равноудаленная от всех сторон | параллелограмма, то этот параллелограмм — ромб. Докажите.

Перпендикулярные плоскости

110. Какую фигуру образуют все прямые, которые проходят через вершину данного угла (меньше развернутого) и образуют ^ с его сторонами равные углы?

111. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные

от двух данных пересекающихся прямых?

112. Прямоугольник АВСВ, стороны которого 3 и 4 см, перегнули по диагонали АС так, что треугольники АВС и АВС оказались в перпендикулярных плоскостях. Определите рас­стояние между точками В и В после перегиба.

113. Плоскости » и р перпендикулярны плоскости 6. Докажите, что линия пересечения плоскостей а и р перпендикулярна плоскости 6.

114. Концы отрезка АВ лежат на двух данных взаимно периендикуляриых плоскостях. Опущены перпендикуляры АА 1 и бв[на линию пересечения плоскостей. Здая, что АВ = | = 21 см, АА\ •== 11 см, ВВд == 16 см, найдите а\в[. I > ()

115. Квадраты АВСВ и АВС\В\ имеют площади по 32 см2. Зная, что расстояние между СВ и С\В\ равно 8 см, докажите, что плоскости квадратов взаимно перпендикулярны.

116. Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой I. Отрезок АВ имеет концы на этих плоскостях и образует со своими проекциями углы в 30° и 45е. Найдите угол между направлениями I и АВ.

117. АВСО квадрат, плоскость МАО перпендикулярна плоскости квадрата, ММ \ АО На АВ дана точка Т. Как по­строить через эту точку прямую, образующую равные углы с АВ и Мт

118. Периметры равносторонних треугольников АВС и АВО равны по 24 см, плоскости треугольников взаимно перпенди­кулярны. Постройте общий перпендикуляр медиан АО и ОМ этих треугольников и найдите его длину.

119. Плоскости квадрата АВСО и равностороннего тре­угольника АВМ взаимно перпендикулярны, АВ == а. Постройте общий перпендикуляр прямой АС и медианы МО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.

Прямоугольные координаты в пространстве

120. Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3" 2), (8; 7, 1). Найдите координаты четвертой вершины.

121. Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1- 8), (4; 7; 1), (3; 5, 8). Найдите координаты четвертой вершины.

122. Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3; 4), (2 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника.

123. Координаты вершин А, С, Е правильного шестиуголь­ника АВСОЕР: (—3; 7; 5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите коорди­наты остальных вершин и центра шестиугольника.

124. Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоскости ху или находится в этой плоскости.

125. Лежат ли на одной прямой точки -А(5; —1; 4), В(4;

3; 1), С(3; 7; —2)?

126. Докажите, что отрезки АВ и СО, концы которых на­ходятся в точках А(»; —1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), 0(8; 6; 13), пересекаются и при этом делятся в отношении 1:2.

127. На ребрах АА^,В\С^ СО куба АВСОА\В\С\0\ найдите по точке, чтобы сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной.

128. Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна плоскости ху и пересекает отрезок с концами -А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7). Определите координаты точки пере­сечения.

129. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов рас­стояний от точек с координатами (1; 2; 4), (4; 5; 1), (7; 2; 1).

Векторы в пространстве

130. АВСО — прямоугольник, точка М находится вне его плоскости. Докажите, что МА2 + МС2 •==- МВ2 + МО2

131. Точка М находится вне плоскости треугольника АВС, центр масс которого — Т. Точка К делит отрезок МТ так, что МК == 3 КТ. Докажите, что АК + ВК + СК + МК = 0.

132. Если направление АВ образует с направлениями СО, СЕ, ОЕ равные углы, то прямая АВ перпендикулярна плоскости СОЕ. Докажите.

133. Верно ли, что, если М. — центр правильного много­угольника А\АчА^... Ап, то МА\ + МАг + МАз +•••+ МАп == = О?

134. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех вершин данного правильного многоугольника.

135. Точка М отстоит от центра куба АВСОА \В\С\0\ на 7 см. Найдите длину вектора МА + МВ + МС 4- МО + МА ] + + МВ1 + МС\ + М0\. ___

136. По условию задачи 135 найдите длину вектора МР\ +

+ МР2 +-МРз + М?4 + М?5 + МРб, ГДе ?1, ?2, рз, Л, Р^

Ре — центры граней куба.

137. Через центр масс Т треугольника АВС проведена. прямая, на ней отмечены такие точки А\, В\, С\, что аа[|| II ВВ) || СС\. Докажите, что: а) ла) + ВВ1 + СС\ == 0;

б) ТА^ + ТВ, + ТС\ == 0.

138. Докажите, что прямую, проходящую через точки А и В, можно определить, как совокупность точек М, удовле­творяющих условию АМ = р АВ, где —оо<:р<:оо. Какое число р соответствует точке А? Какое число р соответствует точке В? Возможно ли, исходя из векторного задания, получить координатное задание прямой?

139. Докажите, что плоскость, заданную точками А, В, С» можно определить как совокупность точек М, удовлетво­ряющих условию АМ == р АВ + 0. АС, где — оо < р < оо, — оо <: $ <: оо.

Преобразование фигур в пространстве

140. Точки А и В находятся по одну сторону плоскости 6, на которую спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наименьшей возможной суммой расстояний от А и В.

141. Точки М и N находятся на двух боковых гранях куба. Найдите на плоскости основания куба точку с минимальной суммой расстояний от М и N.

142. Точки Л и В находятся по разные стороны плоскости 6, на которую они спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наибольшей возможной разностью расстояний от точек А и В.

143. АВСВА&bsol;В1С&bsol;В&bsol;—куб. Точка М находится на грани СВВ&bsol;С&bsol;, а точка N — на луче А&bsol; А вне куба. Найдите на плос­кости АВС точку с наибольшей возможной разностью рас­стояний от точек М и N.

144. О — центр грани ВСС&bsol;В1 куба АВСВА1В&bsol;С&bsol;В&bsol;. Найдите на плоскости АВС все точки, равноудаленные от точек О и А&bsol;.

145. Даны точки А(6; О; О), 5(0; 4; 0), С(5; 1; 3). Постройте отрезок с серединой С и концами на прямой АВ и на плоско­сти хг.

146. Вершины треугольника находятся в точках (2; 3; 4), (5; 1; 8), (8; 10; 3). В результате параллельного переноса верши­на наибольшего угла переместилась в центр описанной окруж­ности. Найдите новые координаты вершин треугольника.

147. Выполните параллельный перенос куба АВСВА&bsol;В&bsol;С&bsol;В&bsol;, чтобы его вершина А переместилась в центр грани АВСВ.

148. Выполните параллельный перенос куба авсва&bsol;в{с&bsol;в&bsol;, чтобы центр грани АВВ&bsol;А&bsol; переместился на середину отрез­ка АВ.

149. Известно положение вершин А(1; —3; 4), В(3; 1; —1), С(4; 0; 2) параллелограмма АВСВ. Построена фигура, сим­метричная параллелограмму относительно начала координат. Определите, в какую точку переместилась точка В.

Углы между прямыми

150. Найдите величины углов между диагоналями куба.

151. Дан куб АВСВА&bsol;В&bsol;С&bsol;В&bsol;. Постройте прямую, которая образует углы по 60° с прямыми ВС и А &bsol;В&bsol;.

152. М — середина ребра СС&bsol; куба АВСВА&bsol;В&bsol;С&bsol;В&bsol;. Найдите угол между А&bsol;М и прямой, которая проходит через точку В и середину отрезка А&bsol;М.

153. М — центр грани ВСС&bsol;В&bsol; куба. Найдите угол между прямыми А&bsol;М и ОМ.

154. Найдите на диагонали ВВ&bsol; куба АВСВА&bsol;В&bsol;С&bsol;В&bsol; такую точку Р, чтобы прямые АР и СР пересекались под прямым углом.

155. Найдите угол между направлениями ва[и В&bsol;В&bsol;, если отрезки ВА&bsol; и В&bsol;В&bsol; — диагонали соответствующих граней куба.

156. По условию задачи 152 найдите угол между направле­ниями А&bsol;М и ВВ&bsol;.

Угол между прямой и плоскостью

157. Плоскость, проходящая через сторону квадрата, обра­зует с его диагональю угол в 30°. Найдите угол между этой плоскостью и стороной квадрата, которую она пересекает.

158. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Плоскость, проходящая через гипотенузу, образует с катетами

углы в 30° и 45°. Найдите величину угла между этой плос­костью и АВ.

159. АВСВ — квадрат, точка М находится вне его плоско­сти. Углы между прямыми МА, МВ, МС и плоскостью квадрата 45°, 60°, 45°. Найдите угол между прямой МВ и плоскостью АВС.