Задачи Лоповок (стр. 15 из 19)

26. Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания, взятые через одну, имеют длины по 5 см, остальные стороны до 3 см. Найдите площадь поверхности призмы.

27. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Диагонали двух соседних боковых граней, проведенные иа одной вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверх­ности призмы.

28. Какую наибольшую площадь боковой поверхности может иметь правильная п- угольная призма, у которой диаго­наль боковой грани и?

29. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см. Площади боковых граней относятся, как 7 : 15 : 20 : 24, длина диагонали наибольшей боковой грани 52 см. Вычислите площадь поверхности призмы.

Сечение призмы плоскостью

30. Докажите, что сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через концы трех ребер, исходящих из одной вершины, является остроугольным тре­угольником.

31. Через боковое ребро треугольной призмы проведены два сечения: одно перпендикулярно противолежащей боковой грани, другое — через ее центр. Зная, что плоскости сечений делят угол между двумя боковыми гранями на три равные части, найдите величины двугранных углов между боковыми гранями призмы.

32. Постройте сечение куба плоскостью, не параллельной ни одной грани куба, чтобы оно имело форму квадрата.

33. Ребро куба о. Построено сечение, имеющее форму пра­вильного /г-угольника. Для каких п и как именно можно по­строить такие сечения? Вычислите его площадь для каждого

ВОЗМОЖНОГО 71.

34. Дан куб АВСТ>А\В\С\1)\. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер АВ и ВС парал­лельно диагонали В^\.

35. Стороны основания треугольной призмы 25, 39, 56 см. Сечение, проходящее через центр наибольшей боковой грани и боковое ребро, имеет форму квадрата. Найдите площадь по­верхности призмы.

36. В правильной четырехугольной призме сторона осно­вания 2 см, высота 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух смежных сторон основания и центр призмы (рис. 58).

37. Длина каждого ребра правильной шестиугольной приз­мы АВС^ЕРА\В\С\^\Е\1:^'\ 4см. Найдите площадь сечения, ко­торое проходит через вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕ^.

38. В правильной четырехугольной призме АВСВА^В\С\В\ боковая грань и сечение АВ\С равновелики. Найдите угол между плоскостью названного сечения и боковым ребром призмы.

39. Плоскость пересекает боковые ребра прямой треуголь­ной призмы АВСА\В\С\ так, что сечением оказался равно­сторонний треугольник КЬМ периметра 36 см. Известно, что АК = 16 см, ВЬ= 11 см, СМ = 5 см. Найдите угол между медианой КВ сечения и плоскостью основания (рис. 59).

40. В правильной четырехугольной призме построены два параллельных сечения: одно через середины двух смежных сторон основания и центр призмы, другое — через диагональ основания (рис. 60). Найдите отношение площадей сечений.

Параллелепипед

41. Сечение призмы плоскостью, пересекающей все боковые ребра — параллелограмм. Докажите, что эта призма — парал­лелепипед.

42. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда I, диагональ его вдвое меньше периметра основания. Определите площадь основания параллелепипеда.

84

43. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квад­рат площади сечения с вершинами в концах ребер, исходящих из одной вершины, в 8 раз меньше суммы квадратов площадей всех граней параллелепипеда.

44. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба втрое меньше диаго­нали куба.

45. Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле­лепипеда равна сумме квадратов его ребер.

46. Расстояния от центра параллелепипеда до его вершин 18, 15, 11, 10 см. Зная, что длины трех ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными целыми числами, определите периметры граней параллелепипеда.

47. Боковое ребро параллелепипеда 10 см, периметр осно­вания 56 см. Расстояния от вершин одного основания до центра другого основания 18, 17, 10, 9 см. Найдите стороны основания.

48. Диагонали параллелепипеда АВСОА \В \С \В\ пересекают­ся в точке О. Периметры треугольников ОАА\, ОАВ и ОАО рав­ны 36, 37, 29 см, АЛ, == 17 см, АВ = 11 см, АО = 6 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

49. Боковое ребро параллелепипеда 3 см, стороны основа­ния 10 и 11 см. Зная, что длины диагоналей (в сантиметрах) выражены последовательными четными числами, найдите пло­щади диагональных сечений.

50. Длины ребер параллелепипеда 9, 13, 14 см, длины его диагоналей (в сантиметрах) выражаются последовательными четными числами. Найдите расстояния от центра параллелепи­педа до вершин.

51. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда 192 см2. Если бы каждое измерение его было на 1 см больше, площадь поверхности равнялась бы 274 см2. Определите длину диагонали параллелепипеда.

52. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником.

53. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный параллелепипед, у которого длина диаго­нали и?

54. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь параллелепипед, у которого сумма длин всех ребер 48 см?

Пирамиды

55. Могут ли середины всех высот треугольной пирамиды находиться в одной плоскости?

56. Сумма плоских углов при всех вершинах пятиугольной призмы равна сумме плоских углов при всех вершинах пира­миды. Определите число ребер этой пирамиды.

57. Плоские углы при каждой вершине пирамиды равны между собой. Определите форму основания пирамиды.

58. Какова бы ни была треугольная пирамида, можно по­строить треугольник, стороны которого равны суммам скре­щивающихся ребер этой пирамиды. Докажите.

59. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скре­щивающихся ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.

60. Докажите, что сумма квадратов отрезков, которые сое­диняют середины скрещивающихся ребер треугольной пира­миды, в 4 раза меньше суммы квадратов ребер этой пирамиды.

61. Могут ли все грани пирамиды оказаться прямоуголь­ными треугольниками?

62. Плоские углы при вершине пирамиды — прямые. Дока­жите, что сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания пирамиды.

63. Основание пирамиды — параллелограмм, стороны кото­рого 16 и 22 см. Расстояние от вершины пирамиды до центра основания 4 см. Зная, что длины боковых ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными числами, найдите длины боковых ребер пирамиды.

64. Два боковых ребра пирамиды 13 и 14 см, угол между ними 60°, а между их проекциями 120°. Найдите высоту пирамида.

65. Основание пирамиды — параллелограмм, периметр ко­торого 48 см. Центр основания удален от вершины пирамиды на 7,5 см, боковые ребра пирамиды 9, 11, 12, 13 см. Найдите стороны основания.

66. Может ли развертка полной поверхности пирамиды ока­заться: а) равносторонним треугольником; б) квадратом;

в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиуголь­ником; д) трапецией?

6Т. Докажите, что центры всех граней правильной призмы являются вершинами двух равных правильных пирамид с общим основанием.

6в. Докажите, что только при п == 3 развертка полной по­верхности

п-угольной пирамиды может оказаться выпуклым многоугольником.

©9. Если плоские углы при вершине пирамиды — прямые, то высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Докажите.

Т®. Основание пирамиды — квадрат. Двугранные углы при основании пирамиды относятся, как 1:2:5:2. Найдите вели­чины этих углов.

71. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды МАВС имеет длину I и образует со стороной основания, которую пересекает, угол в 75°. Паук начал ползти из вершины А и, по­бывав на всех боковых гранях пирамиды, вернулся в ту же точ­ку (рис. 61). Определите наименьшую возможную длину пути паука.

72. Сторона основания правильной шестиугольной пира­миды МАВСВЕР равна а, угол между боковым ребром и стороной основания, которую оно пересекает, 80°. Паук начал ползти по поверхности пирамиды из точки А и, побывав на всех боковых гранях, вернулся в точку А. Определите наименьшую возможную длину пути паука.

73. Из каждой вершины основания правильной четырех­угольной пирамиды, площадь основания которой равна О, опущены перпендикуляры на плоскости граней, не содержащих этих вершин. Точки пересечения этих перпендикуляров — К, Ь, М, N (рис. 62). Докажите, что эти точки лежат в одной плоско­сти, и найдите площадь четырехугольника К^МN.

74. Если боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны и имеют длины а, Ъ, с, то высота пирамиды Н связана с ними соотношением: Н 2 + с~2. Докажите.

75. Если суммы квадратов скрещивающихся ребер треуголь­ной пирамиды равны, то высоты пирамиды пересекаются в од­ной точке Г Докажите

.

Площадь поверхности пирамидах

76. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпен­дикулярны, их длины 2, 4, 16 см. Найдите площадь поверх­ности пирамиды.

77. Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см2. Боковые ребра взаимно перпендикулярны, их длины состав­ляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная пирамида, у которой 5 ребер имеют длину а?

79. Двугранный угол между смежными боковыми гра­нями правильной четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания О. Определите площадь боковой поверхности пи­рамиды.

80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каж­дого диагонального сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.

81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и высоту. Может ли площадь боковой поверх­ности призмы быть меньше площади боковой поверхности пира­миды? Если да,' то при каком условии?