29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного треугольника равняться пяти основным элементам другого?
30. Треугольники со сторонами а, Ъ, с и Ь, с, и подобны. Может ли коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,б?
31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треугольников а, Ь, с и а\, Ь\, с\. Докажите, что аа\ + ЬЬ\ == сс\.|
32. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АН вдвое больше расстояния от центра | описанной окружности до стороны ВС.
33. О — центр окружности, описанной около остроугольного \ треугольника АВС, ОА + 0В + ОС == ОМ. Докажите, что
Точка М находится внутри треугольника АВС.
34. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС, у которого ^С = 60°. Докажите, что точки А\, В\ и середина стороны АВ — вершины равностороннего треугольника.
35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число п > 5 подобных ему треугольников.
36. Даны две непараллельные прямые 1\ и 1ч и точки А и В вне этих прямых. Постройте через А и В две параллельные прямые, которые отсекают на 1\ и 1ч отрезки с отношением Длин 2 : 3.
_37. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметьте такие точки D и Е, чтобы АВ == DЕ == ЕС.
38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба.
39. АВ — диаметр полуокружности. Хорды АС и ВD (или их продолжения) пересекаются в точке М. Докажите, что АС • АМ + ВD • ВМ = АВ2.
40. Диагональ ВВ ромба АВСВ равна его стороне. Точка М находится на луче ВА вне ромба. МС пересекает АВ в точке О. Под каким углом пересекаются прямые МВ и ВО (рис. 39)?
41. Точка М находится внутри треугольника АВС, причем АМ = ВМ. На сторонах АС и ВС вне треугольника АВС по строены треугольники АСР и ВСК, подобные треугольнику АВМ, причем их равные стороны лежат вне треугольника АВС. Докажите, что четырехугольник МРСК — параллелограмм
42. АВСВ — четырехугольник, M1, M2, M3, M4 — центры масс треугольников АВС, ВСВ, СВА, ВАВ. Докажите, что четырехугольники АВСВ и M1M2M3M4подобны.
43. Длины оснований трапеции 6 и 12 см. Середину каждого основания соединили с концами другого основания, построенные отрезки пересеклись в точках М и N. Найдите расстояние между М и N.
44. Основания трапеции 12 и 36 см. Середину меньшего основания соединили с концами второго основания. Эти отрезки пересекли диагонали трапеции в точках М и N. Найдите расстояние между М и N.
45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник АВСD. Докажите, что АС • ВD = АВ • СВ + ВС • АВ.
46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения отрезков этих хорд равны.
47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, чтосумма квадратов отрезков этих хорд равна квадрату диаметр окружности.
48. Окружность проходит через вершину А параллелограмма АВСВ и пересекает прямые АВ, АС, АВ в точках Е С|, г>1. Докажите, что АВ • АВ\ + АВ • АВ^ == АС • АС (Рис. 40).
Ломаная
49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными звеньями 150°. Докажите, что эта ломан;
имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.
50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной при мой. Докажите, что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях которой размещаются все данные точки.
51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см. Докажите, что эта ломаная имеет не менее четырех звеньев.
52. На сторонах треугольника АВС вне его построены квадраты с центрами 0\, Оч, Оз. Точки Ао, Во, Со — середины сторон треугольника АВС, СцАоОдВ — параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные 0\ВСоОз и О^ВцСоВ равны.
53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрезки 0\0у. и О^В равны и взаимно перпендикулярны. Выведите отсюда один из путей построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне треугольника.
54. Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев и не имеет самопересечений. Докажите, что прямая, не проходящая ни через одну вершину ломаной, не пересекает всех звеньев этой ломаной.
55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°, 90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым?
Многоугольник
56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек. Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются только точки из числа названных. При этом треугольники не перекрываются и каждая из 3000 точек является вершиной хоть одного треугольника. Определите общее число треугольников.
57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая больше, по крайней мере, двух его сторон.
58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних углов выпуклого многоугольника?
59. Каждая сторона п-угольника является диаметром круга. Зная, что эти круги содержат все внутренние точки многоугольника, определите возможные значения п.
60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиугольника можно разрезать на три трапеции.
61. Докажите, что выпуклый га-угольник (п ~> 4) можно разделить на п — 2 трапеции.
62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб АВВЕ и равносторонний треугольник ВСВ. Найдите угол АСЕ.
63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны диагоналям некоторого пятиугольника.
64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.
65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей.
66. АВСВЕР — шестиугольник, середины сторон которого К, Ь, М, К, О, Р. Докажите, что центры масс треугольников КМО и ШР совпадают.
67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у которого градусные меры трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника есть две равные.
68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника, попарно пересекаются вне треугольника. Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что образуется равносторонний шестиугольник. Найдите его периметр.
69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин его параллельных сторон одинаковы.
Площадь прямоугольника
70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая сторона равна сумме оснований. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям названной трапеции.
71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окружность касается его сторон в точках А, В, С, В. Найдите площадь четырехугольника АВСВ.
72. Длины сторон прямоугольника а и Ь. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить квадрат, если:
а) о = 8 см» Ъ = 18 см; б) о == 9 см, Ь === 16 см?
73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах, причем периметр (в сантиметрах) и площадь (в квадратных сантиметрах) выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника.
74. Расстояния внутренней точки М от трех вершин квадрата АВСВ такие: МА == 7 см, МВ = 17 см, МС == 23 см. Найдите площадь квадрата.
75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух других на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся на этих прямых.
76. В окружность радиуса Д вписан прямоугольник периметра Р. Найдите площадь прямоугольника.
Площадь параллелограмма
77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам — Н\ и Н<г.
78. Отрезок ВМ лежит вне треугольника АВС, но его продолжение пересекает сторону АС. Построены параллелограммы АВМВ и СВМЕ. Докажите, что сумма площадей этих параллелограммов равна площади четырехугольника АВЕС.
79. На двух параллельных прямых отложены равные отрезки АВ и СВ, затем построены 4 параллелограмма (рис. 42).
Докажите, что сумма площадей двух первых параллелограммов равна сумме площадей двух других.
80. На рисунке 43 построены 6 параллелограммов аналогично задаче 79. Докажите, что 8\ + 82 + 8з = 6ч + 85 + 8е.
81. Найдите площадь параллелограмма, у которого острый угол та, а расстояния от центра параллелограмма до сторон равны т и ге.
82. Найдите площадь параллелограмма, у которого периметр Р = 65 см, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 4 и 6 см.
83. Площадь ромба вдвое меньше площади квадрата, имеющего такой же периметр, как ромб. Найдите углы ромба.
84. Площадь равностороннего треугольника АВС равна 8. Из точки М на ВС проведены прямые, параллельные АВ и АС. Какую наибольшую площадь может иметь площадь полученного параллелограмма?
Площадь треугольника
85. Докажите, что в каждом треугольнике аЪ + ас + &с > 6 8.
86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о2 + Ь2).
87. Докажите, что в каждом треугольнике
— аЬ + Ь2).
88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На, Ъ.ь, Нс: (а + Ь + с)
•+ь+
89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.
90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что площадь их общей части больше половины площади каждого прямоугольника.