Смекни!
smekni.com

Контрольная работа

№385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.


По определению несобственного интеграла имеем:


Интеграл сходится.

№301. Найти неопределенный интеграл.


Представим подинтегральную функцию в виде слагаемых



№522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.



Понизим порядок дифференциального уравнения, т.е. введем новую функцию , тогда

и получаем уравнение


Это линейное уравнение первого порядка.

Введем новые функции u=u(x) и v=v(x).

Пусть , тогда , т.е.


(1)


Предположим, что функция такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в круглых скобках уравнения (1) т.е., что она является решением дифференциального уравнения.


это уравнение с разделяющимися переменными



Здесь

Подставляем значение v в уравнение (1), получаем


Следовательно,


а т.к. , то

решим отдельно интеграл

, тогда

общее решение данного дифференциального уравнения.

Найдем частное решение при заданных условиях


Т.к. , то

Т.к. , то


- частное решение при заданных условиях.

№543. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.


Составим характеристическое уравнение


Т.к. , то общее решение запишется в виде


Найдем частное решение т.к. в правой части стоит , то

Найдем и


Подставим значение и в данное уравнение, получим:

Общее решение данного дифференциального уравнения.

Найдем частное решение при заданных начальных условиях

, т.к. , то

, т.к. , то

решаем систему


и


- частное решение при заданных начальных условиях.