Элементарные конфортные отображения (стр. 2 из 2)
, 
, 
, 
Найти суммы:
1)
2)
Решение. Пусть:
, а 
. Умножим вторую строчку на 
, сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: 
; Преобразуя, получим: 
, 
3. Доказать, что: 1)
2) 
3)
4) 
Доказательство:
1) По определению,
2)
3)
; 
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1)
; 2) 
; 3) 
;Решение: 
и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
, 
, 
, 
Напомним, что
2)
, 
, 
3)
, 
, 
, 
.Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:
; 
; 
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; 
; 
; 
; 
; 
Вычислить: 1)
; 3) 
; 5) 
;2)
; 4) 
; 6) 
;Решение. По определению,
, 
1)
, 
, 
, 
2)
, 
, 
, 
3)
, , 
, 
4)
, 
, 
, 
5)
, 
, 
, 
6)
, 
, 
, 
Найти все значения следующих степеней:
1)
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;Решение. Выражение
для любых комплексных 
и 
определяются формулой 
1)
2)
3)
4)
.8. Доказать следующие равенства:
1)
;2)
;3)
Доказательство: 1)
, если 
, или 
, откуда 
, или 
.Решив это уравнение, получим
, т.е. 
и 
2)
, если 
, откуда 
, или 
, следовательно, 
, 
3)
, если 
, откуда 
, или 
.Отсюда
, следовательно, 